2.2 控制系统的时域数学模型.doc

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1、2.2控制系统的时域数学模型2.2.1线性元部件、线性系统微分方程的建立用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤是：⑴根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输入、输出变量；⑵从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或化学）定律，列写出各元部件的动态方程，一般为微分方程组；⑶消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；⑷将微分方程标准化，即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。下面举例说明建立微分方程的步骤和方法。例2-1R-L-C无源网络如图2-1所示

2、，试列写输入电压ur与输出电压uc之间的微分方程。解这是一个电学系统，根据克希荷夫定律可写出（2-1）（2-2）消去上两式的中间变量，整理可得（2-3）假定都是常数，则上式即为二阶线性常系数微分方程。令即（2-4）式中，表示R-L-C网络的时间常数；表示阻尼系数。将式（2-4）代入式（2-3）并整理，可得一标准形式为（2-5a）同样，若令（自然频率），可将（2-5a）表示为另一种标准形式（2-5b）例2-2弹簧-质量-阻尼器系统如图2-2所示，其中，为弹簧的弹性系数，为阻尼器的阻尼系数，表示小车的质量。如果忽略小

3、车与地面的摩擦，试列写以外力为输入，以位移为输出的系统微分方程。解这是一个力学系统。首先对小车进行隔离体受力分析，如图2-3所示。在水平方向应用牛顿第二定律可写出(2-6)若令：则可将式(2-6)写成如下标准形式(2-7)例2-3试列写图2-4所示电枢控制式直流电动机的微分方程。图中，电枢电压为输入量，电动机转速为输出量。分别是电枢电路的电阻和电感，是折合到电动机轴上的总负载转矩。假设激磁电流为常值。解这是一个电学-力学系统。电枢控制式直流电动机是将输入的电能转换为机械能，其工作原理是，由输入的电枢电压在电枢回路

4、中产生电枢电流，再由电流与激磁磁通相互作用对电机转子产生电磁转矩，从而拖动负载运动。电动机的微分方程可由以下三部分组成。⑴电枢回路电压平衡方程：（2-8）式中：是电枢旋转时产生的反电势，其大小转速成正比，即，是反电势系数。⑵电磁转矩方程为（2-9）式中，是电动机转矩系数；是电枢电流产生的电磁转矩。⑶电动机轴上的转矩平衡方程：（2-10）式中：是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数；是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。由式（2-8）~（2-10）中消去中间变量便可以得到以为输出量，以为输入量的电动机微分

5、方程（2-11）可见,式(2-11)为二阶线性微分方程。在工程应用中，由于电枢电路电感较小，通常可忽略不计，因而式（2-11）可简化成如下形式（2-12）式中：是电动机的机电时间常数（单位：s）,，是电动机的传动系数。若、、均为常数时，则式（2-12）就是一个一阶常系数线性微分方程。另外,在随动系统中,也常常以电动机的转角作为输出量，将代入式（2-12），有（2-13）例2-4设有图1-4(a)所示电动机转速控制系统，试列写其微分方程。解给定电压为输入量，电动机转速为输出量。从产生偏差的元件开始，按信号流通方向依

6、次写出组成该系统各元件的微分方程。⑴测量元件：测速发电机作为测量元件，它可将系统输出角速度转换成相应的电压，即（2-14）其中是测速发电机的传递函数，可看作常数。⑵比较元件：比较元件将反馈电压与给定电压进行比较，并产生偏差电压，即（2-15）⑶放大元件：包括电压放大器和功率放大器两部分，作用是对偏差电压进行电压和功率放大，即（2-16）式中，是电压放大器和功率放大器的放大系数，为常数。⑷执行元件：直流电动机作为执行元件，它将电枢电压转换成电动机转子轴的角速度，根据例2-3中式（2-12）可知，直流电动机的微分方程

7、为（2-17）⑸减速器：减速器是用来减速并增大力矩的，其微分方程为（2-18）式中，是减速器的传动比，为常数。联立式（2-14）～（2-18），消去中间变量、、、，可得电动机转速控制系统的微分方程为（2-19）从上述系统或元部件的微分方程可以看出，不同类型的元件或系统可具有形式相同的数学模型。例如，例2-1和例2-2系统的数学模型均是二阶微分方程，例2-3和例2-4系统的数学模型均为一阶微分方程。我们称这些物理系统为相似系统，相似系统揭示了不同物理现象间的相似关系，也为控制系统的计算机仿真提供了基础。2.2.2非

8、线性系统微分方程的线性化前文讨论的元件和系统，假设都是线性的，因而，描述它们的数学模型也都是线性微分方程。事实上，任何一个元件或系统总是存在一定程度的非线性。例如，弹簧的刚度与其形变有关，并不一定是常数；电阻R、电感L、电容C等参数值与周围环境（温度、湿度、压力等）及流经它们的电流有关，也不一定是常数；电动机本身的摩擦、死区等非线性因素会使其运动方程复杂化而成为非线性方程