时域数学模型.ppt

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1、自动控制原理山东科技大学信息与电气工程学院高宏岩自动控制原理第二章控制系统的数学模型引言2.1控制系统的时域数学模型2.2控制系统的复数域数学模型2.3结构图及其等效变换2.4信号流图与梅森公式2.5闭环系统的传递函数2.6数学模型的MATLAB实现2.7控制系统建模实例引言1.定义：描述系统的输入、输出变量以及系统内部各个变量之间关系的数学表达式就称为控制系统的数学模型。2.为什么要建立数学模型：对于控制系统的性能，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模

2、型。它是分析和设计系统的依据。分析和设计控制系统时，常用的数学模型有微分方程、差分方程、传递函数、结构图、信号流图、频率特性等。本章着重讨论微分方程、传递函数、结构图、信号流图等数学模型的建立及应用。数学模型建立方法a.解析法解析法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型——适用于简单的系统。b.实验法实验法是利用系统的输入--输出信号来建立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模方法。黑盒输入输出无论是用解析法还是用实验法建立数学模型，都存在着模型精度和复杂性之间的矛盾，即

3、控制系统的数学模型越精确，它的复杂性越大，对控制系统进行分析和设计也越困难。因此，在工程上，总是在满足一定精度要求的前提下，尽量使数学模型简单。为此，在建立数学模型时，常做许多假设和简化，最后得到的是具有一定精度的近似的数学模型。本章主要采用解析法建立系统的数学模型，关于实验法将在后续章节和课程中进行介绍。微分方程是描述各种控制系统动态特性的最基本的数学工具，也是后面讨论的各种数学模型的基础。因此，本节将着重介绍描述线性定常控制系统的微分方程的建立和求解方法，以及非线性微分方程的线性化问题。2.1控制系统的时域数学模型——微分方程2.1.1线性元件微分方程

4、的建立用解析法列写线性元件微分方程的一般步骤如下：(1)根据元件的工作原理，确定元件的输入、输出变量。(2)依据各变量所遵循的物理或化学定律，列写出系统中元件的动态方程，一般为微分方程组。(3)消去中间变量，得到只含有输入变量和输出变量的微分方程。(4)将微分方程标准化：即将与输入有关的各项放在方程的右侧，与输出有关的各项放在方程的左侧，方程两边各阶导数按降幂排列，最后将系数整理规范为具有一定物理意义的形式。图2-1【例2-1】试列写如图2-1所示的RLC无源网络的微分方程。ui(t)为输入变量，uo(t)为输出变量。【例2-2】图2-2是弹簧-质量-阻

5、尼器组成的机械位移系统。其中，k为弹簧的弹性系数，f为阻尼器的阻尼系数。试列写以外力F(t)为输入，以位移x(t)为输出的系统微分方程。【例2-3】试列写如图所示的电枢控制直流电动机的微分方程。电枢电压ua为输入量，电动机转速ωm为输出量。Ra和La分别是电枢电路的电阻和电感，Mc为折合到电动机轴上的总负载转矩。+-+-Ce——电动机电势常数Cm——电动机转矩常数当电枢回路的电感可以忽略不计若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽略不计，则上式可进一步简化比较:R-L-C电路运动方程与M-S-D机械系统运动方程不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型，

6、揭示了不同物理现象之间的相似关系。便于用简单系统去研究相似的复杂系统。2.1.2控制系统微分方程的建立用解析法列写控制系统微分方程的一般步骤如下：(1)确定系统的输入、输出变量。(2)从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理或化学定律，依次列写出系统中各元件的动态方程，一般为微分方程组。(3)消去中间变量，得到只含有系统输入变量和输出变量的微分方程。(4)标准化。【例2-4】试列写如图所示闭环调速控制系统的微分方程。功率放大器：功率放大环节是晶闸管整流装置，u2为输入量，ua为输出量。当忽略晶闸管整流电路的时间滞后和非线性因素时，二者的关系

7、为式中：K3是功放的放大系数。上式表明：电机转速控制中，电机的转速ω既与给定作用ui有关，又和扰动作用Mc有关。运放1运放2功放直流电动机减速器（齿轮系）测速发电机得微分方程如下：（其中系数由已知参数构成）2.1.3微分方程的求解建立微分方程的目的之一是为了用数学方法定量地研究系统的动态特性。给出输入信号r(t)，分析输出响应c(t)的方程，就是解微分方程。线性定常系统的微分方程可用经典法、拉氏变换法或计算机求解。其中拉氏变换法可将微积分运算转化为代数运算，且可查表，简单实用。本小节只研究用拉氏变换法求解微分方程。用拉氏变换法求解微分方程一般应遵循以下步骤

8、：(1)考虑初始条件，将系统微分方程进行拉氏变换，得到以s为变量的