控制系统的数学模型(1、2、3节)

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1、2-2线性系统的输入—输出传递函数描述2-3非线性数学模型的线性化2-4典型环节的数学模型第二章线性系统的数学模型2-1线性系统的输入—输出时间函数描述2-5建立数学模型的实验方法简介2-6框图及其化简方法2-7信号流程图数学模型:描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间相互关系的数学表达式。有了数学模型,就可以应用一定的数学方法对系统的性能进行定性分析和定量计算,乃至对系统进行综合和校正。对线性定常系统,微分方程是最基本的数学模型,最常用的数学模型是在此基础上转换来的传递函数和动态结构图。建立数

2、学模型的方法有机理分析法和实验辨识法两种。2-1线性系统的输入—输出时间函数描述线性系统微分方程的编写步骤:1、确定系统或环节的输入量和输出量,选取必要的中间变量。2、从输入端开始,根据决定各变量之间相互关系的物理、化学等定律,一一写出相关变量的微分(或代数)方程式。3、消去中间变量,写出只含有系统输入和输出变量的微分方程。4、将结果标准化,即含输出量的项写在等式左边,含输入量的项写在等式右边,且都按微分的高阶到低阶排列。其形式为:把②代入①,并进行整理得:解:(1)确定输入输出量和中间变量ru输

3、入cu输出rucuRCi[例1]:写出图示一阶RC电路的微分方程。这是一个线性定常一阶微分方程。(2)列写微分方程①②(3)消去中间变量rccuuudtdRC=+并进行整理得:解:(1)确定输入输出量[例2]:写出二阶RC网络的微分方程。这是一个线性定常二阶微分方程。(2)列写微分方程(3)消去中间变量rcccuuudtdTTTudtdTT=++++)(3212221令R1C1=T1,R2C2=T2,R1C2=T3。uru1R1C1i1ucR2C2i2ru输入cu输出消去中间变量可得:问题:[例2

4、]:写出二阶RC网络的微分方程。显然,这个结果是错误的。这是为什么呢?这是一个两级的RC网络,能否先写出两个单级RC网络的微分方程,再消去中间变量,从而得到整个网络的微分方程呢?我们来试一下,由上例结果可得:uru1R1C1i1ucR2C2i2ru输入cu输出在列写电路的微分方程时,必须考虑到后级电路是否对前级电路产生影响。这种后一级对前一级的影响称为负载效应。例2中,只有当后级R2C2网络的输入阻抗很大时,对前级的影响才可以忽略不计。把②代入①,并进行整理得:解:(1)确定输入输出量输入输出iu

5、ouLRCi[例3]:写出RLC串联电路的微分方程。这是一个线性定常二阶微分方程。(2)列写微分方程①②(3)消去中间变量iooouuutddRCutddLC=++22[解]:画出小车受力图。[例4]:求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。K为弹簧的弹性系数,f为阻尼器的阻尼系数,忽略小车与地面的摩擦,试写出以外力F为输入,以位移y为输出的系统微分方程。阻尼器阻力为由牛顿运动定律,有弹簧力为∴该系统微分方程为:FKyydtdfytddm=++22这些都是线性定常二阶微分方程,即这些系统具有相

6、同形式的数学模型。此类物理性质不同,但具有相同数学模型的系统称为相似系统,在微分方程中对应相同位置的物理量称为相似量。二阶RC网络:rcccuuudtdTTTudtdTT=++++)(3212221RLC串联电路:iooouuutddRCutddLC=++22弹簧-阻尼-质量系统:FKyydtdfytddm=++22相似系统中的相似量机械系统电气系统液力系统热力系统力F(力矩T)电压u水位H温度θ速度v电流i流量Q热流量h阻尼系数f电阻R液阻R热阻R弹性系数K电容C液容C(截面积A)热容C质量m(

7、转动惯量J)电感L微分方程是描述线性系统的一种基本的数学模型,在确定的初始条件和输入信号作用下,通过对微分方程的求解,便可得到系统的输出响应,从而分析评价系统的性能,研究系统参数的变化对性能的影响。但是高阶微分方程的求解是比较困难的,而且分析系统的结构参数对性能的影响也十分不便。所以对系统进行分析和设计时,通常采用另外一种数学模型——传递函数。2-2线性系统的输入—输出传递函数描述传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数,可以:1、不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在输入作

8、用下的动态过程。2、了解系统参数或结构变化对系统动态过程的影响——分析3、可以把对系统性能的要求转化为对传递函数的要求——综合由微分方程转换为传递函数的数学工具是拉普拉斯(Laplace)变换,简称拉氏变换。)]([)(tfLsF=1、定义:如果以时间t为自变量的函数f(t)当t≥0称为函数f(t)的拉氏变换,记作。敛,则由此积分所确定的函数时有定义,且积分在s的某一域内收式中s为复变量。一、复习拉氏变换一个函数存在拉氏变换的条件是:(1)当t<0时,f(t)=0;(2)当t≥0时

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