控制系统的数学模型1

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1、第二章系统的数学模型2.1概述2.2系统的微分方程2.3拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换2.4系统的传递函数2.5系统的传递函数方框图及其连接2.6典型环节的传递函数第二章系统的数学模型本章教学大纲本章教学大纲1.掌握机械、电气系统微分方程的建立方法；2.了解非线性方程的线性化；3.熟悉拉氏变换及反变换、线性定常微分方程的解法；4.掌握传递函数基本概念及典型环节传递函数；5.掌握系统传递函数方框图的化简。教学重点：微分方程建立、传递函数概念与求法、典型环节传递函数、方框图等效变换第二章系统的数学模型2.1概述2.1概述一、数学模型1.定义2.种类3.研究

2、领域定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间关系的数学表达式。微分方程、差分方程、统计学方程、传递函数、频率特性、各种响应式等。时间域——微分方程、差分方程、状态方程；复数域——传递函数、脉冲传递函数；频率域——频率特性。第二章系统的数学模型数学模型——反映系统在恒定载荷或缓变载荷作用下或在系统平衡状态下的特性；静态模型——用于研究系统在迅变载荷作用下或在系统不平衡状态下的特性；动态模型在一定条件下，动态模型可以转换为静态模型。动态模型是描述系统的动态历程的，机械工程控制论研究的是机械工程技术中广义系统的动力学问题，所以往往需要采

3、用动态数学模型，即需要建立微分方程或差分方程来描述系统的动态特性。2.1概述第二章系统的数学模型二、建立数学模型（建模）的方法一个“合理”的数学模型应该以最简化的形式、准确地描述系统的动态特性。2.1概述建模方法1.分析法（解析法）根据系统或元件所遵循的有关定律来建立数学模型的方法（列写数学表达式）。2.实验法根据实验数据进行整理，并拟合出比较接近实际的数学模型。第二章系统的数学模型三、线性系统与非线性系统1.定义能用线性微分方程描述的系统为线性系统，否则为非线性系统。2.分类线性定常系统：线性时变系统：非线性系统：2.1概述第二章系统的数学模型3.

4、特性线性系统满足叠加原理，即具有叠加性；非线性系统不满足叠加原理。叠加原理：线性系统在多个输入的作用下，其总输出等于各个输入单独作用而产生的输出之和。和的响应等于响应之和。2.1概述第二章系统的数学模型2.2系统的微分方程2.2系统的微分方程微分方程在时域中描述系统（或元件）动态特性的数学模型，或称为运动方程。利用微分方程可得到描述系统（或元件）动态特性的其他形式的数学模型。如：一、列写微分方程的一般方法第二章系统的数学模型2.2系统的微分方程1.确定系统的输入量和输出量；2.按信号传递的顺序，从系统输入端出发，根据各变量所遵循的物理定律列写系统中各

5、环节的动态微分方程；3.消除中间变量,得到只包含输入量和输出量微分方程；4.整理所得到的微分方程，将与输出有关的项放在方程的左侧，与输入有关的项放在方程的右侧，各阶导数项按降幂方式排列。如：二、系统微分方程的列写1.机械系统第二章系统的数学模型2.2系统的微分方程遵循的定律：牛顿第二定律或达朗贝尔原理直线运动元素：质量m、弹簧k、粘性阻尼器c质量元件：阻尼元件：c，c—粘性阻尼系数弹性元件：，k—弹性系数例2-1列写下图所示机械系统的微分方程解：1)明确系统的输入与输出，输入—f(t)，输出—x(t)2)进行受力分析，列写微分方程，利用，得3)整理微

6、分方程，得第二章系统的数学模型2.2系统的微分方程例2-2下图所示为一简化了的机械系统，求其输入x(t)与输出y(t)之间的微分方程。解：在不同的元素之间，一定会有中间变量。设中间变量x1，且假设x＞x1＞y。取分离体阻尼活塞和缸体部分，并进行受力分析，第二章系统的数学模型2.2系统的微分方程根据受力分析，列写微分方程组，(1)(2)消去中间变量x1(t)，得，将x1(t)代入(2)，整理得系统微分方程为，第二章系统的数学模型2.2系统的微分方程(2)转动元素：惯量J、扭转弹簧kJ、回转粘性阻尼器cJ惯量元件：，J—转动惯量回转弹性元件：，kJ—回转

7、弹性系数回转阻尼元件：，cJ—回转粘性阻尼系数第二章系统的数学模型2.2系统的微分方程例2-3下图所示为一齿轮传动链，输入量为轴Ⅰ的输入转矩T，输出量为轴Ⅰ角位移θ1，试写出其微分方程。解：为了便于列写微分方程，我们在系统上增加一些中间变量T1，T2，它们分别是轴Ⅰ的输出转矩与轴Ⅱ的输入转矩，即如下图所示，第二章系统的数学模型2.2系统的微分方程根据达朗贝尔原理列写微分方程组为，消去中间变量T1、T2、θ2，得到系统的微分方程为根据达朗贝尔原理列写微分方程组为，由此可知，减速器的速比越大，转动惯量、粘性阻尼系数等折算到电动机轴上的等效值越小，因此在一

8、般分析中常可忽略不计，但第一级齿轮的转动惯量和粘性阻尼系数影响较大，应该考虑。第二章系统的数学模型2.2系统