线性变换的定义1

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1、高等代数太原理工大学理学院数学系第一节线性变换的定义第二节线性变换的运算第三节线性变换的矩阵第四节特征值与特征向量第五节对角矩阵第六节线性变换的值域与核第七节不变子空间第八节若当(Jordan)标准形介绍第九节最小多项式线性变换小结第七章线性变换返回第一节线性变换的定义上页下页返回线性空间V到自身的映射称为V的一个变换.上一章我们看到，数域P上任意一个n维线性空间都与Pn同构，因此，有限维线性空间的结构可以认为是完全清楚了.线性空间是某一类事物从量的方面的一个抽象.我们认识客观事物，固然要弄清它们单个的和总体的性质，但是更重要的是要研究它们之间的各种各样的联系.在线性

2、空间中，事物之间的联系就反映为线性空间的映射.上页下页返回这一章中要讨论的线性变换就是最简单的，同时也可以认为是最基本的一种变换，正如线性函数是最简单的和最基本的函数一样.线性变换是线性代数的一个主要研究对象.下面如果不特别声明，所考虑的都是某一固定数域P上的线性空间.上页下页返回一、线性变换的定义定义1线性空间V的一个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素α,β和数域P中任意数k，都有A(α+β)=A(α)+A(β)A(kα)=kA(α).(1)以后我们一般用黑体大写拉丁字母A，B，…表示V的线性变换，A(α)或Aα代表元素α在变换A下的像.上页下页返回定义中等

3、式(1)所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法.下面我们来看几个简单的例子，它们表明线性变换这个概念是有丰富的内容.上页下页返回例1平面上的向量构成实数域上的二维线性空间.把平面围绕坐标原点按反时钟方向旋转θ角，就是一个线性变换，用Iθ表示.如果平面上一个向量α在直角坐标系下的坐标是(x,y)，那么像Iθ(α)的坐标，即α旋转角θ之后的坐标(x’,y’)是按照公式来计算的.同样地，空间中绕轴的旋转也是一个线性变换.上页下页返回例2设α是几何空间中一固定非零向量，把每个向量ξ变到它在α上的内射影的变换也是一个线性变换，以Πα表示它.用公式表示就是这里(

4、α,ζ),(α,α)表示内积.Πα(ξ)=例3线性空间V中的恒等变换或称单位变换E，即E(α)=α,(α∈V)以及零变换0，即0(α)=0,(α∈V)都是线性变换.上页下页返回例4设V是数域P上的线性空间，k是数域P中的某个数，定义V的变换如下：α→kα,(α∈V)这是一个线性变换，称为由数k决定的数乘变换，可用k表示.显然当k=1时，便得恒等变换，当k=0时，便得零变换.例5在线性空间P[x]或者P[x]n中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D代表，即D(f(x))=f’(x).上页下页返回例6定义在闭区间[a,b]上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以C(

5、a,b)代表.在这个空间中,变换J(f(x))=是一线性变换.上页下页返回二、线性变换的简单性质：1.设A是V的线性变换，则A(0)=0,A(-α)=-A(α).这是因为A(0)=A(0·α)=0A(α)=0，不难直接从定义推出线性变换的以下简单性质：A(-α)=A((-1)α)=(-1)A(α)=-A(α).上页下页返回2.线性变换保持线性组合与线性关系式不变.换句话说，如果β是α1,α2,…,αr的线性组合：β=k1α1+k2α2+…+krαr那么经过线性变换A之后，A(β)是A(α1),A(α2),…,A(αr)同样的线性组合：A(β)=k1A(α1)+k2A(

6、α2)+…+krA(αr)又如果α1,α2,…,αr之间有一线性关系式那么它们的像之间也有同样的线性关系式k1α1+k2α2+…+krαr=0k1A(α1)+k2A(α2)+…+krA(αr)=0上页下页返回以上两点，根据定义不难验证，由此即得但应该注意，3的逆是不对的，线性变换可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量组.例如零变换就是这样.3.线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组.