资源描述：
《线性变换的定义.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、教学目标：理解线性变换的概念，掌握线性变换的基本性质6.1线性变换的定义教学难点：线性变换的象与核的求法授课题目：6.1线性变换的定义授课时数：4学时教学重点：线性变换的基本性质第六章 线性变换图6.1例1在二维几何空间 中，令σ是将每个向量旋转角φ的一个旋转变换（见图6.1）一.定义及例子容易看出：对任意向量α,β及实数k均有σ(α+β)＝σ(α)+σ(β)σ(kα)＝kσ(α)1.两个实例容易看出：对任意向量α,β及实数k均有σ(α+β)＝σ(α)+σ(β)σ(kα)＝kσ(α)例2在中，H是过原点的一个平面
2、.令σ是对平面H的正投影变换（图6.2）图6.2定义1设V是数域F上的一个线性空间，σ是V的一个变换，如果它满足以下两个条件：（1）对任意的α,β∈V，有σ(α+β)＝σ(α)+σ(β)；（2）对任意的k∈F，有σ(kα)=kσ(α).则称σ是向量空间V的一个线性变换．2.定义例3对 的每个向量 ，规定．σ是 的一个变换，我们证明它是一个线性变换．1）对于 的任意两个向量 ，与，有σ(α+β)=σ(x1+y1,x2+y2,x3+y3)3.一些例子=(x1+y1,3(x1+y1)-(x2+y2
3、),(x2+y2)+(x3+y3))2)对任意数k∈F，则有σ(kα)=σ(kx1,kx2,kx3）=(kx1,3kx1-kx2,kx2+kx3)=k(x1,3x1-x2,x2+x3)=kσ(α)因此，σ是F3的一个线性变换．=(x1,3x1-x2,x2+x3)+(y1,3y1-y2,y2+y3)=σ(α)+σ(β)α=(1,0,0),β=(2,0,0),α+β=，σ(α)=,σ(β)=,σ(α)+σ(β)=,而σ(α+β)=,σ(α+β)____σ(α)+σ(β).如果在F3中规定σ(α)＝(x12,3x1-x
4、2，x2+x3）那么σ就不是F3的线性变换.(3,0,0)(1,3,0)(4,6,0)(5,10,0)(9,9,0)≠例4在Mn(F)中,对任意的n阶方阵X,规定σ(X)=AXB，其中A和B为F上两个固定的方阵.由于：1）对任意的X、Y∈Mn(F)，则有σ(X+Y)===;A(X+Y)BAXB+AYBσ(X)+σ(Y)2)对任意的k∈F，有σ(kX)===．A(kX)Bk(AXB)kσ(X)所以,σ是Mn(F)的一个线性变换.特别地，若A=B',则σ(X)=B'XB,σ是Mn(F)的一个线性变换；若B可逆，且A=
5、B-1,则σ(X)=B-1XB,σ也是Mn(F)的一个线性变换.例5设V是数域F上的一个线性空间，取定F中的一个数k，对任意的ξ∈V，规定σ(ξ)＝kξ.当k＝1时，σ是V的恒等变换ι；σ是V的一个线性变换，叫做V的一个数乘（或位似）变换.因此，恒等变换及零变换都是线性变换.当k＝0时，σ是V的零变换θ.例7设C[a,b]是定义在[a,b]上的一切连续函数作成的R上的线性空间.对任意的f(x)∈C[a,b],规定J(f(x))＝.例6在F[x]中，令D(f(x))=f'(x)．容易验证，D是F[x]的一个线性变换
6、，称为F[x]的微商变换（或微分变换）.J(f(x))仍是[a,b]上的连续函数．线性变换，叫做C[a,b]的积分变换.J是C[a,b]的一个二.线性变换的基本性质1)线性变换σ把零向量变成零向量；把任一向量α的负向量-α变成α的象σ(α)的负向量-σ(α).证 任取一向量α，有σ(0)＝σ(0α)＝0σ(α)＝0．所以σ(-α)＝-σ(α)σ(α)+σ(-α)＝σ(α-α)＝σ(0)＝0，2)定义1中的条件(1),(2)与以下条件等价：(3)对任意的a,b∈F,α,β∈V，有σ(aα+bβ)＝aσ(α)+bσ(
7、β).3）线性变换σ保持线性关系式，即对于β∈V，若有k1,k2,…,kn∈F,及α1,α2,…,αn∈V使得β＝k1α1+k2α2+…+knαn则σ(β)＝k1σ(α1)+k2σ(α2)+…+knσ(αn),特别地，当β＝0时，有K1σ(α1)+k2σ(α2)+…+knσ(αn)＝0.若k1，k2，…，kn不全为0，则得性质：4)线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组.5)设σ是V的一个线性变换,V′是V的子空间.V′在σ下的象集合,记作σ(V′),即σ(V′)={σ(ξ)｜ξ∈V′}.则σ(V′)是V
8、的一个子空间.证对任意的 ，∈σ(V′)总有α,β∈V′使σ(α)＝,σ(β)＝.由于σ是线性变换，所以，对任意的a,b∈F,有a+b＝aσ(α)+bσ(β)＝σ(aα+bβ).但V′是V的子空间，aα+bβ∈V′,因而a+b∈σ(V′),故σ(V′)是V的一个子空间.特别地，σ(V)是V的子空间，称为σ的象，可用Im(σ)表示.6）设σ是V的一个线性变换，W′是V的一个
