动态方程的线性变换

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1、第四节动态方程的线性变换7/16/20211若是系统的一个状态向量，总可以找到一个非奇异的线性变换阵，有。那末，也是系统的一个状态变量，经过这种满秩变换后，系统的传递函数阵不变（前面已经证明）。由于非奇异矩阵的选择不是唯一的，所以不是唯一的。一、状态变量模型的非唯一性二、特征根和特征向量我们称为特征多项式，它的n个根为的特征值。由解出的向量称为对应的特征向量。[定义]：若是n阶方阵，如果数和n维非零向量使关系式成立（或），那末，数称为方阵的特征值，非零向量称为的对应于的特征向量。7/16/20212[例6-4-1]：求的特征值和特征向量。[解]：当时，由：得：同理，当时，7/16/2021

2、3[例6-4-2]：，求特征值和特征向量。[解]：特征值为当时，由，得：7/16/20214若有个互异的特征根，则必可化为对角阵，即，对角线元素为特征根的值。其转换阵为，其中为对应的特征向量。[说明]：，那末：我们知道，若，则是对应的特征向量。所以，转换矩阵是由的特征向量组成的。三、动态方程的约当标准型（对角型）7/16/20215[例6-4-3]将转换为对角阵，并求转换矩阵。[解]：在例6-4-2中，已经求出了的特征值为：其对应的特征向量分别为：所以转换阵为：即有：7/16/20216特例：若方阵是可控标准型，且特征根互异，则转换阵是范得蒙矩阵。若有相同的特征根时，分两种情况：①m个相同

3、的特征值对应的特征向量完备，即m个相同的特征值对应m个独立的特征向量。这种情况较少见。转换阵的求法同上。7/16/20217即：前面m项是对应m重特征根的m个互相独立的特征向量；后面n-m个是互异特征根的特征向量。这时阵可转换为如下形式的约当标准型。7/16/20218②m个相同的特征值对应的特征向量不完备，即m个相同的特征值不存在m个独立的特征向量。这时不能将之化为对角阵而只能转换为约当阵。（设有m个重根）m行n-m行(约当块)7/16/20219阵的求法分为两块，一块是互异部分，算法同上；另一块是重根部分。设的求法：由此可求得：上式中，为重根对应的特征向量(广义特征向量)；为互异特征根

4、对应的特征向量。7/16/202110[例]：试将下列状态方程化为约当标准型：[解]：求特征值：（二重根）时的特征向量为：另一广义的特征向量：时特征向量：7/16/202111且有：7/16/202112小结状态变量模型的非唯一性特征根和特征向量动态方程的约当标准型（对角标准型）7/16/202113