动态电路的方程及其解

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1、第12讲动态电路的方程及其解、电路的初始值一、动态电路方程1、动态电路方程：在动态电路中，除有电阻、电源外，还有动态元件(电容、电感)，而动态元件的电流与电压的约束关系是导数与积分关系，因此根据KCL、KVL和元件的VCR所建立的电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分—积分方程。如果电路中的无源元件都是线性时不变的，那么动态电路方程是线性常系数微分方程。2、一阶电路：只有一个动态元件的电路，其电路方程为一阶微分方程，故称为一阶电路。3、n阶电路：含有n个独立的动态元件的电路，其电路方程为n阶微分方程，称为n阶电路。R0i(t)Cuoc(t)uR0(t)uc(t)G0i(t)Cisc(

2、t)uc(t)若给定初始条件以及t≥t0时的uoc(t)或isc(t),便可由方程解得t≥t0时的uc(t),然后用置换定理将电容置换为电压源求得所有的电压、电流。)()()(0tututuoccR=+)()(0tutudtduCRoccc=+)()(0tituGdtduCsccc=+N1i(t)CucN2若给定初始条件以及t≥t0时的uoc(t)或isc(t),便可由方程解得t≥t0时的uL(t),然后用置换定理将电感置换为电流源求得所有的电压、电流。对于电感同理可得：状态变量：电容电压和电感电流状态变量：指一组最少的变量，若已知它们在t0时的数值（初始条件），则连同所有在t≥t0时的输

3、入就能确定在t≥t0时电路中的任何电路变量。)()(00tiidtdiLGtuiRdtdiLscLLocLL=+=+R0i(t)Luoc(t)uR0(t)uL(t)+-G0i(t)Lisc(t)uL(t)二阶电路GiLCisuLiCiGiC+iG+iL=iSiC=iGuG=iLò¥-=tduL)(1uG+duLt)(1=+ò¥-iSu1————RC+duLCt)(1=+ò¥-iSdtdu1————C1————RC+uLC1=+iSdtd2u1————Cdtdudtd建立动态方程的一般步骤是：(1)根据电路建立KCL或/和KVL方程，写出各元件的伏安关系；(2)在以上方程中

4、消去中间变量，得到所需变量的微分方程。二.电路的过渡过程（是动态电路的一个特征）1、过渡过程：电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。K未动作前i=0,uC=0i=0,uC=Usi+–uCUsRCK+–uCUsRCit=0K接通电源后很长时间2、过渡过程产生的原因换路：电路中开关的闭合、断开或电路参数突然变化统称为换路。使电路由原来的工作状态转变到另一个工作状态（稳态）4、稳态分析和动态分析的区别稳态动态换路发生很长时间换路刚发生iL、uC随时间变化代数方程组描述电路微分方程组描述电路IL、UC不变3、换路时刻：闭合时刻在t=0进行t=0_，开关未合上但将合上的瞬间t=0+，开关合上

5、但刚刚合上的瞬间K+–uCUsRCit=0bat≥0+t≤0_∴换路经历的时间为t=0_到t=0+îíì=sabUU0三、固有响应和强迫响应、暂态响应和稳态响应如果将独立源(uS和iS)作为激励，用f(t)表示，把电路变量(u或i)作为响应，用y(t)表示，则描述一阶和二阶动态电路的方程的一般形式可分别写为(有时等号右端还有f(t)的导数))()()(00tfbtyadttdy=+和)()()()(00122tfbtyadttdyadttdy=++对于线性时不变动态电路，a0、a1、b0等都是常数。线性常系数微分方程的解由两部分组成：y(t)=yh(t)+yp(t)齐次方程的通解（

6、齐次解）满足非齐次方程的特解对于)()()(00tfbtyadttdy=+特征方程为：s+a0=0，特征根s=-a0，故齐次解为yh(t)=Kest=Ke-a0t（K为待定常数，由初始条件确定）而特解与激励有相似的形式。对于)()()()(00122tfbtyadttdyadttdy=++其齐次解yh(t)的函数形式由其特征方程s2+a1s+a0=0的根(即特征根)s1、s2确定。表3-1中列出了特征根s1、s2为不同取值时的相应齐次解。而特解与激励有相似的形式。表3-2列出了常用激励形式与其所对应的特解Yp(t)。当特解形式确定后，将其代入原微分方程，求出待定常数Ai，则特解就确

7、定了。例3.2–1如图3.2-3的RC电路，当t=0时开关闭合，若电容的初始电压uC(0)=U0，电压源Us为常数，求t≥0时的uC(t)。解：(1)建立电路方程。当t>0时，开关已闭合，由KCL有uR+uC=Us由于i=iC=C故uR=Ri=RC，将它代入上式，并除以RC，得令τ=RC（称为时间常数），则(2)求齐次解uCh。的特征方程为其特征根s=-1/τ，故uC的齐次解为uCh=Kest=Ke