《微分及其运算》PPT课件

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1、§3.4微分及其运算1º线性近似设y=f(x)在x0处可导,则有记则L(x)是曲线在点(x0,f(x0))处的切线,从上式得说明：称为函数y=f(x)在点x0附近的线性近似(即在点x0附近以直代曲)(1)线性近似的几何意义：2º微分若y=f(x)在x0处可导,则即定义设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义,如果增量y=f(x0+x)-f(x0)可以表示为其中A是不依赖于x的常数,则称f(x)在点x0处可微,并称Ax为函数y=f(x)在点x0处对应于自变量增量x的微分,记作dy(或）,即定理(可微的充要条件)函数f(x)在点x0处可微的充要条件是f(x)在x0处

2、可导,且证明只需证必要性若f(x)在点x0处可微，则对x，有在x0处可导,且说明：(1)(2)若取f(x)=x,则dx=x即自变量的微分即为自变量的增量，从而微分即y对x的导数即为微分dy与自变量的微分dx之比微分的几何意义:x0x0+xy微分的四则运算法则：复合函数的微分(一阶微分形式的不变性)设y=f(u),u=(x)都为可微函数,考察复合函数y=f((x))的微分即有(一阶微分形式的不变性)此式说明：(1)不论u是自变量还是中间变量,函数微分dy的形式完全相同(2)dy与du之比表示y对u的导数(a)复合函数求导法则:(b)反函数求导法则:(c)参数方程的

3、求导公式:例设,求dy及解(一阶微分形式的不变性)将方程中的y看作y(x),则方程成为恒等式,解得例求由方程所确定的隐函数的微分dy解在方程两边取微分,有由于取微分有例设曲线既可用参数式x=x(t),y=y(t)表示,又可用极坐标=()表示,求证：解