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1、科学计算软件第八章微分运算8.1极限的计算Mathematica中使用Limit命令来计算极限，它总是力求确定极限的准确值Limit[f[x],x->a]:计算的值例1计算Limit[(x^5-32)/(x^3-8),x->2]Factor[x^5-32]Factor[x^3-8]8.1极限的计算可以利用Direction选项确定左、右极限的计算Direction->1:计算左极限，即x从左边趋近于aDirection->-1:计算右极限，即x从右边趋近于aLimit的默认值为Direction->Automatic，除了在无穷远点外，方
2、向为右极限。对于非连续函数，最好指定Direction，采用默认值可能会得到不正确的结果8.1极限的计算例2考虑极限如果没有选定方向，默认计算右极限Limit[Abs[x]/x,x->0]Limit[Abs[x]/x,x->0,Direction->1]Limit[Abs[x]/x,x->0,Direction->-1]8.1极限的计算例3Mathematica也可以计算无穷极限及在无穷远点处的极限Limit[1/x,x->0,Direction->-1]Limit[1/x,x->0,Direction->1]Limit[(2x^2+3x
3、+4)/(x^2+1),x->Infinity,Direction->-1]8.1极限的计算例4当x趋向某点时极限不存在，但f(x)有界时，Limit命令会返回一个区间[{min,max}]，表示值的范围在此区间之内Limit[Sin[1/x],x->0]Limit[Tan[1/x],x->0]习题解答8.6如果每年支付利息n次，年利率为r，那么p美元在t年后变为p(1+r/n)^nt美元，假设如果连续计息（n->infinty）,那么t年后钱数为多少？Limit[p(1+r/n)^(nt),n->Infinity]习题解答8.7函数的导
4、数定义为极限利用这个定义计算f(x)=Logx+x^5+sinx的导数f[x_]=Log[x]+x^5+Sin[x];Limit[(f[x+h]-f[x])/h,h->0]习题解答8.8函数的2阶导数可以用极限计算得到。利用这个极限计算f[x]=lnx+x^5+sinx的2阶导数习题解答利用这个极限计算f[x]=lnx+x^5+sinx的2阶导数f[x_]=Log[x]+x^5+Sin[x];Limit[(f[x+h]-2f[x]+f[x-h])/h^2,h->0]8.2导数的计算如果f[x]表示一个函数，那么它的导数表示为f'[x]。高
5、阶导数用f''[x]、f'''[x]...等表示例5f[x_]=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1f'[x]f''[x]f'''[x]8.2导数的计算撇号也可作用到内置函数上。如果不给出参数，Mathematica就返回一个纯粹函数，表示所要求的导数(有关纯粹函数见附录A1)Sqrt'Sqrt'[x]Sqrt''Sqrt''[x]8.2导数的计算用撇号表示高阶导数并不方便D[f[x],x]：返回f相应于变量x的导数D[f[x],{x,n}]：返回f相应于变量x的n阶导数例7D[x^5+x^4+x^3+x^2+x+1,x]D[x^5+x
6、^4+x^3+x^2+x+1,{x,2}]D[x^5+x^4+x^3+x^2+x+1,{x,3}]8.2导数的计算计算导数，也可以使用模板上的偏导符号返回相应于x的n阶导数例8D[(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1),{x,3}]8.2导数的计算Derivative[n]是一个算子，它作用到一个函数上，得到一个新的函数，即函数的n阶导数Derivative[n][f]用纯粹函数的形式给出f的n阶导数Derivative[n][f][x]计算f在x点的n阶导数，x为具体数或为符号在Mathematica内部，f'被转化为Derivat
7、ive[1][f]8.2导数的计算例9f[x_]:=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1;Derivative[1][f]Derivative[1][f][x]8.2导数的计算计算导数在特定点的多种方法，注意:=的用法例10f[x_]=(x^2-x+1)^5;f''[1]D[f[x],{x,2}]/.x->1g:=Derivative[2][f]g[1]f[x_]=x^3g[1]8.2导数的计算作为符号计算软件，Mathematica可以方便的进行公式推导，包括导数的运算法则例11Clear[f,g]D[f[x]+g[x],x]D[f[
8、x]g[x],x]D[f[x]/g[x],x]//TogetherD[f[g[x]],x]8.2导数的计算例12证明函数f[x]=(x^3+2x^2+15x+2)Sin[Pix]在区间[0,1
