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时间:2019-07-04
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1、第五节微分及其应用一、微分的定义与几何意义二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用四、小结一微分的定义与几何意义1、问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.再例如,既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?2、微分的定义定义(微分的实质)由定义知:3、可微的条件定理证(1)必要性(2)充分性例1解4、微分的几何意义MNT)几何意义:(如图)P二、微分的求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式2.函数和、差、积
2、、商的微分法则例2求函数在点x=0和x=1处的微分。解例3设,求。解例4解例5解3、微分形式的不变性结论:微分形式的不变性例7解例6解例8解在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.三微分在近似计算1、函数的近似计算(1).若函数y=f(x)在点x0处可导,当自变量改变Δx时,写出函数在点x0处的微分dy和函数改变量Δy.dy=f'(x0)Δx,y=f(x0+Δx)-f(x0).提问在什么条件下可用dy近似代替Δy?为什么?因为dy和Δy相差一个比
3、Δx
4、变小的速度更快的量,即Δy-dy=a·Δx,其中a满
5、足所以当
6、Δx
7、很小的时候,可用dy近似代替Δy,即而
8、Δx
9、越小,近似程度越好.将(1)式移项,得再令x0+Δx=x此时x为变量,则有Δx=x-x0,所以(2)变成如下的形式(1)(2)(3)例10证明如下近似公式:(1);(2)。证(1)令,,当时,,由得,即(2)令,,当时,,由得,即。四、小结微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.导数与微分的联系:1.2.导数与微分的区别:3.所以这种说法不
10、对.从概念上讲,微分是从求函数增量引出线性主部而得到的,导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限,它们是完全不同的概念.练习题2.5练习题2.5答案
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