《微分方程及其应用》PPT课件

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1、第六章微分方程及其应用6.1常微分方程的基本概念与分离变量法6.2一阶线性微分方程6.3二阶常系数线性微分方程6.4常微分在经济中应用6.1常微分方程的基本概念与分离变量法6.1.1微分方程的基本概念1.微分方程含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。注：在微分方程中，如果未知函数是一元函数，则方程称为常微分方程，简称微分方程。2.微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶.一般地，n阶微分方程的一般形式为：3.微分方程的解、通解（1）若某函数代入微分方程后，能使该方程两端恒等，则这个

2、函数为该微分方程的解。如y=x2+2是方程（1）的解,显然y=x2+C也是方程（1）的解.（2）如果微分方程的解中所含独立常数的个数等于微分方程的阶数，这样的解称为微分方程的通解.如y=x2+C是方程（1）的通解.4．微分方程的初始条件和特解（1）确定通解中任意常数值的附加条件叫做初始条件；一般地一阶微分方程的初始条件为：二阶微分方程的初始条件为：（2）由初始条件确定了通解中任意常数后所得到的解，称为微分方程的特解。如y=x2+2是方程（1）的特解.中含有一个任意常数C，而所给方程又是一阶微分方程，是所给方程的通解

3、.中含有两个任意常数，而所给方程又是二阶的，6.1.2分离变量法1．定义形如的方程称为可分离变量的方程.特点--等式右端可以分解成两个函数之积，其中一个只是x的函数，另一个只是y的函数2．解法设当g(y)≠0时，两端积分得通解注(1)当g(y)=0时，设其根为y=α，则y=α也是原方程的解；解分离变量，得ydy=-xdx,说明：在解微分方程时，如果得到一个含对数的等式，为了利用对数的性质将结果进一步化简，可将任意常数写成klnC的形式，k的值可根据实际情况来确定，如例2中取k=1/2.例5设降落伞从跳伞台下落，所受

4、空气阻力与速度成正比，降落伞离开塔顶(t=0)时的速度为零。求降落伞下落速度与时间的函数关系.解设降落伞下落速度为v(t)时伞所受空气阻力为-k（负号表示阻力与运动方向相反（k为常数）伞在下降过程中还受重力P=mg作用，由牛顿第二定律得于是所给问题归结为求解初值问题由此可见，随着t的增大，速度趋于常数mg/k，但不会超过mg/k，这说明跳伞后，开始阶段是加速运动，以后逐渐趋于匀速运动.6.2一阶线性微分方程6.2.1一阶线性微分方程1．定义：形如的方程，称为一阶线性微分方程，其中P(x)、Q(x)是已知的连续函数,

5、Q(x)称为自由项．特点：方程中的未知函数y及导数都是一次的．2．分类若Q(x)=0,即称为一阶线性齐次微分方程．若Q(x)≠0,则方程(1)称为一阶线性非齐次微分方程．3．一阶线性齐次方程的解法类型：可分离变量的微分方程．其中C为任意常数.4．一阶线性非齐次方程的解法用常数变易法．在方程（1）所对应的齐次方程的通解的基础上进行变易,假设方程（1）有如下形式的解：其中C（x）为待定函数．于是方程(1)的通解为：（4）式称为一阶线性非齐次方程（1）的通解公式．上述求解方法称为常数变易法．用常数变易法求一阶线性非齐次方

6、程的通解的一般步骤为：(1)先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解；(2)根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解将所求出的齐次方程的通解中的任意常数C改为待定函数C(x)即可；(3)将所设解带入非齐次线性方程，解出C(x)，并写出非齐次线性方程的通解．①①式对应的齐次方程为②将方程②分离变量得两边积分得即所以齐次方程②的通解为：③将上述通解中的任意常数C换成待定函数C(x)，将其待入方程①得将C(x)代入式③得原方程的通解：例3　在串联电路中，设有电阻R，电感L和交流电动势E=E0sinωt，在时刻t

7、=0时接通电路，求电流i与时间t的关系（E0,ω为常数）．解　设任一时刻t的电流为i．我们知道，电流在电阻R上产生一个电压降uR=Ri，由回路电压定律知道，闭合电路中电动势等于电压降之和，即在电感L上产生的电压降是①式①为一阶非齐次线性方程的标准形式，其中利用一阶非齐次线性方程之求解公式得通解：6.2.2可降阶的高阶微分方程特点：方程y(n)=f(x)的右端仅含有自变量．解法：将两端分别积分一次，得到一个n-1阶微分方程;再积分一次，得到n-2阶微分方程，连续积分n次，便可得到该方程的通解．解将所给方程连续积分三次

8、，得特点：方程右端不含未知函数y解法：令y’=t，则y″=t’，于是原方程可化为以t为未知函数的一阶微分方程t’=f(x,t)．解令y’=t，则y″=t’，代入原方程得分离变量得两边积分得即再积分得例6如图，位于坐标原点的我舰向位于x轴上A(1,0)点处的敌舰发射制导鱼雷，鱼雷始终对准敌舰．设敌舰以常速v0沿平行于y轴的直线行驶，又设鱼雷的速率为2v0，求鱼