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1、第六节微分方程应用利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是：(1)分析问题，设所求未知函数，建立微分方程，确定初始条件；(2)求出微分方程的通解；(3)根据初始条件确定通解中的任意常数，求出微分方程相应的特解．本节将通过一些实例说明微分方程的应用．例1一曲线通过点(2,3)，该曲线上任意一点Ｐ(x,y)处的法线与x轴的焦点为Ｑ，且线段PＱ恰被y轴平分，求此曲线的方程．解１）列方程：设所求曲线方程为y＝y(x)，则它在Ｐ(x,y)处的法线方程为：P(x,y)y=y(x)y0图1即得曲线应满足微分方程:令Ｙ=０，得法线在x轴上的截距为：由题设条件得:由
2、于曲线过点(2,3)，故得初值条件:２）求通解，将方程（１）分离变量，得：将初值条件（２）代入通解，得：将上式两端积分，得通解：３）求特解则所求曲线方程为：例2设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为零。求降落伞下落速度与时间的函数关系。解设降落伞下落速度为v=v(t),降落伞在空中下落时，同时受到重力P与阻力R的作用(图2)，重力大小为mg，方向与v一致；阻力大小为kv(k为比例系数)，方向与相反，图2根据牛顿第二运动定律F=ma(其中a为加速度)，得函数v=v(t)的微分方程为从而降落伞所受外力为(3
3、)由题意，初始条件为.因为方程(3)是可分离变量的．这就是方程(3)的通解．于是降落伞下落速度与时间的函数关系为也就是说，跳伞后开始阶段是加速运动，但以后逐渐接近于等速运动．分离变量后得两边积分得即或(4)将初始条件代入(4)式，得(5)由(5)式可以看出，随着时间的增大，速度逐渐接近于常数,且不会超过,例3一曲线过点(３,４),在该曲线上任意点处的切线在y轴上的截距恰等于原点(0,0)到该点的距离.解1)列方程设所求曲线为y=y(x),则它在任意一点(x,y)处的切线方程为:令X=0,得切线在y轴上的截距为由题设条件得于是两端积分由于曲线过点(3,4
4、),故得初值条件2)求通解方程(6)是齐次方程,另y=u(x)x,则即得通解：(3)求特解将初值条件(７)代入通解,解得c=9,则曲线方程为例4已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比．设有一瓶热水，水温原来是100℃，空气的温度是20℃，经过20小时以后，瓶内水温降到60℃，求瓶内水温的变化规律．解可以认为在水的冷却过程中，空气的温度是不变的．由题意，得其中k是比例系数(k>0)．由于是单调减少的，即设瓶内水的温度与时间之间的函数关系为，则水的冷却速率为,(1)所以(1)式右边前面应加“负号”．初始条件为．对(1)式分离变量，得两边
5、积分得即于是方程(1)的特解为把初始条件代入上式，求得C=80，其中比例系数k可用问题所给的另一条件来确定，即解得因此瓶内水温与时间的函数关系为例5设质量为m的物体在冲击力的作用下得到初速度v0在一水面上滑动,作用于物体的摩擦力为-km(k为常数),求该物体的运动方程,并问物体能滑多远?解设所求物体的运动方程为s=s(t),由牛顿第二定律及题意得二阶微分方程初始条件:将初始条件从而所求运动方程为微分方程的通解为:例6试求由微分方程所确定的一条积分曲线y=y(x),使它在点(0,1)处与直线y-3x=1相切.解由题意知,所求积分曲线y=y(x)满足二阶常
6、系数齐次线性微分方程,初值条件为.将初值条件:故所求积分曲线方程为例7解设在时刻t时链条垂下s(单位:m),链条的线密度(单位长度的质量)为ρ,则链条所受的外力大小等于垂下部分链条所受的重力ρsg(g为重力加速度).根据牛顿第二定律F=ma,可得微分方程为长为6m的链条自高6m的桌上无摩擦地向下滑动,假定在运动开始时,链条自桌上垂下部分已有1m长,试问需经多长时间链条才全部滑过桌子?按题意，在运动开始时，链条自桌上垂下的部分已有１m长，且无初速度，所以有初值条件：方程（１）是二阶常系数齐次线性方程，其特征方程为故得通解为将（３）式对t求导，得：把初值条
7、件（２）代入（３）及（４）式，得于是所求满足初值条件的特解为求链条全部滑过桌子所需的时间t．当链条全部滑过桌子时，s＝６，代入（５）式得：由此可解得这就是链条全部滑过桌子所用的时间，其中g＝９．８m/s２例8在如图5.3所示的电路中，先将开关K拨向A，使电容充电，当达到稳定状态后再将开关拨向B．设开关K拨向A的时间t=0,求时回路中的电流i(t).已知E=20伏，C=0.5法拉，L=1.6亨利，R=4.8欧姆；且图5.3解在电路R-L-C中各元件的电压降分别为根据回路电压定律，得将上述各式代入，得在上式两边对t求导，将R=4.8，L=1.6，C=0.5
8、代入，得因此得即(8)方程(8)的特征方程为特征根为为求得满足初始条件的特解，求导数得图5.4
