《微分方程应用举例》PPT课件

《《微分方程应用举例》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§9.6微分方程应用举例例弹性横梁的震动问题有一质量为m的电动机,安装在梁上A点,电动机开动时,产生一垂直于梁的干扰力psint(p,为常数),使梁发生振动.梁上A点的位移用坐标y表示,梁的弹性恢复力与位移y成正比(比例系数为k>0),求A点的运动规律(不计阻力与重力)解建立坐标系如图所示AoyA点受到的力:(1)干扰力:psinωt(2)弹性恢复力:ky据牛顿第二定律有初始条件:即y满足初值问题:特征方程:特征根:齐次方程的通解:被称为固有频率下面求非齐次方程的特解(1)当时,设非齐次方程的特解为代入方程整理得令解得非齐次方程的特解:非齐次方程的通解:

2、由所以初值问题的解(2)当时,设非齐次方程的特解为代入方程可得:非齐次方程的特解:非齐次方程的通解:由可确定所以初值问题的解注意:位移y(t)的振幅为将随t的增大而无限增大,从而引起共振现象当时,例一颗子弹以速度v0=200m/s打进一块厚度为0.1m的板,然后穿过板,以速度v1=80m/s离开板,该板对子弹运动的阻力与运动速度平方成正比,问子弹穿过板用了多少时间?解0x0.1设时刻t,子弹在木板中移动到x=x(t),子弹的质量为m根据牛顿第二定律有若记及注意到v(0)=200则速度v=v(t)满足下初值问题:(可分离变量方程)由v(0)=200设子弹穿透板的所

3、用时间为T,则据题意又v(T)=80于是有例求曲线,使它上面的任一点M处的切线MT与直线OM夹定角.解设所求曲线为y=y(x),M(x,y)y=y(x)M为曲线上的任意一点,则由于Ty0令,代入方程有整理得分离变量有积分得则即例将温度为100ºC的开水冲进热水瓶且塞紧塞子后放在温度为20ºC的室内,24小时后,瓶内热水温度降为50ºC,问冲进开水12小时后瓶内热水的温度是多少?(设瓶内热水冷却的速度与水的温度和室温之差成正比)解设时刻t时,水的温度为TºC,则有(一阶线性方程)解得由T(24)=50