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时间：2020-03-31
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1、常微分方程应用举例列微分方程的常用方法(1)利用物理定律列方程(2)利用导数的几何意义列方程(3)利用微元分析法列方程例1有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度因此[t,t+dt]内，流出体积为设在微小的时间间隔水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:可分离变量以下求解见268页等量关系：流出体积量＝体积减少量现求体积减少量例2试设计一反光镜,使它能将点光
2、源发出的光反射成为平行光[解]点光原位于坐标原点O,由点O发出的光线经反射都成为平行于x轴的平行光由光的反射定律于是有根据导数的几何意义得到微分方程一阶齐次变形为以下求解见272页例3.绳索仅受重力作用而下垂,解:取坐标系如图.考察最低点A到(:密度,s:弧长)弧段重力大小按静力平衡条件,有故有设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?任意点M(x,y)弧段的受力情况:A点受水平张力HM点受切向张力T两式相除得则得定解问题:原方程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索的形状为悬链线解受力分析例4.物体自由振动的微分方程强迫振动的方程高阶线性方
3、程
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