常微分方程的应用

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1、学士学位论文BACHELOR’STHESIS　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　编号学士学位论文常微分方程的应用学生姓名：学号：系部：专业：数学年级：指导教师：完成日期：年月日12学士学位论文BACHELOR’STHESIS中文摘要此处为中文摘要，宋体小四号字，行间距1.25。关键词：多个关键词之间用分号隔开12学士学位论文BACHELOR’STHESIS目　录中文摘要1引言21.微分方程的应用21.1等角轨线，正交轨线31.2几何学问题71.3动力学问题81.4生态学中的增长问题9总结11参考文献12致谢1212学士学位论文BACHELOR’ST

2、HESIS12学士学位论文BACHELOR’STHESIS引言人们在对物质的运动进行定量或定性的摸术时常常需要借助于数学工具。常微分方程是描述物质运动经常使用，而且还使用得十分广泛的一种数学工具。通过分析是想应的微分方程的各种特性，能够对所研究物质的生态，获得某些定性和定量的了解。本文我将通过实列说明一些物理学，几何学，得某些定律或某些生态问题是如何导致微分方程问题的。由于这文的目的是说明如何从实际问题导致微分方程问题的。1.微分方程的应用常微分方程的应用很广泛，常微分方程的产生和发展愿与实际问题的需要，同时它也成为解决实际问题的有力工具。我们应用常微分

3、方程能解决几何学，动力学，电学，光学，化学，天文学中的一些问题。一般来说，用常微分方程解决问题过程分以下三个步聚：1.建立方程。对所研究问题，根据已知定律或公式以及某些等量关系列出微分方程和相应初值条件。2.求解微分方程。3.分析问题。通过已求得的解的性质，分析实际问题。用微分方程来解决实际问题必顺考虑如下几个方面：1.转换。把实际问题的文字语言转换为数学语言与符号，如数学上倒数用来表示运动学中的速率，生物学中的增长率，放射学中的衰减率等。既了解所讨论问题学科方面的知识，又掌握数学知识，我们就会在这两者之间架起沟通桥染，完成建模任务。2.关键。微分方程是

4、瞬时命题，它必顺在任何时刻都正确，这是数学中心部分。如果你已经了解代表导数的关键词语，想找出,与之间的关系12学士学位论文BACHELOR’STHESIS，首先要集中研究变化率，其次要注到往往不是直接对这些量应用规律，而是对某些微元应用，在取极限而得到微分方程，这就是数学上的所谓微元分析方法。3.单位。对于进入微分方程的项必须保证它的每一项有相同的单位（如m/s,kg/d,…）如果注意到了这些，往往可以帮助你是实现与检验微分方程的正确性。4.已知条件。它是在特定地点或时间的已知信息，它们不属于微分方程本身，而是用来决定特定的运动或常数。这些就是所谓的初始

5、条件或边界条件。5.求解。这一步是纯数数学问题，综合我们学到的数学知识，求精确或近似解。1.1等角轨线，正交轨线我们来求这样的曲线获取险族，使得它与某已知曲线族的每一条曲线相交成给定的角度。这样的曲线称为已知曲线的等角轨线。当所给定的角为直角时，等角轨线称为正交轨线。求等角轨线的方法：设在（）平面上，给定一个单叁数曲线族求这样的曲线L与（C）中每一条曲线的交角度都是定角（图1）（图1）设的方成为。为了求，我们先来求出12学士学位论文BACHELOR’STHESIS所应满足的微分方程，也就是要先求得的关系式。条件告诉我们与的曲线相交成定角，于是，可以想象，

6、和必然应当与中的曲线及其且显得斜率有一个关系。事实上，当时，有或①当时，②又因为在交点处，，于是如果我们能求得的关系即曲线族所满足的微分方程只要把盒①霍②代入（*），就可以求得的方成了。如何求（*）呢？采用分析法。设为中任一条曲线，于是存在相应的，使得③因为要求的关系，将上式对求导数，得④这样，将上两式联立，既由⑤12学士学位论文BACHELOR’STHESIS肖去,就得到所应当满足的关系这个关系成为曲线族的微分方程。于是，等较轨线的微分方程为⑥而正交轨线（）的微分方程为⑦例1：求直线束的等角轨线和正交轨线。解：首先求直线族的微分方程。将对求导，得，由肖

7、去，就得到的微分方程当时，由（1.6）知道，等角轨线的微分方程为12学士学位论文BACHELOR’STHESIS或及即积分后得到或如果写成极坐标形式，不难看出等角轨线为对数螺线（图2）如果，由⑦可知，正交轨线的微分方程为即或故正交轨线为同心圆族（图3）12学士学位论文BACHELOR’STHESIS图3图21.2几何学问题例2：设曲线位于平面的第一象限内，上任一点处的一切线与轴总相交，交点记为，已知且经过点求的方程。图4解：题中的要求是，抓住这个关系式建立方程。设曲线的任一点的坐标是，曲线的方程为，于是过点曲线的切线方程为与轴交点的坐标为：由推知其中，化

8、简便得12学士学位论文BACHELOR’STHESIS初值条件是，上述方程是伯努