常微分方程在matlab的应用

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1、常微分方程在MATLAB中的分析研究及应用河西学院物理与机电工程学院刘志宏甘肃张掖733000摘要：科学研究和工程技术中的问题往往归结为求某个常微分方程的定解问题.常微分方程的理论指岀，很多方程的定解虽然存在，但可能十分复杂难于计算，也可能不能用简单的初等函数表示，因此常求其能满足精度要求的近似解.常微分方程的数值解法常用來求近似解，由于它提供的算法能通过计算机便捷地实现，因此近年来得到迅速的发展和广泛的应用。关键词：经典龙格库塔法亚当姆斯方法初值问题0引言常微分方程是解决工程实例的常用工具，建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程解来说明实休现象，并加以检验。如果能得

2、到解析形式的解固然是便于分析的。但是，虽然求解常微分方程有多种解法，但解析方法只能用來求解一些特殊类型的方程，实际问题中归结出來的微分方程主要靠数值解法。数值解法就是一个十分重要的手段，而Adams方法以及Rung-Kutta方法是数值解法最常用的方法，通过对两种方法计算结果的对比，从而找到一个最为合适的计算方法。一、思想方法-阶常微方程的初值问题:yf=f(x,y)y(a)=y0x

3、rY2对任意的x曰a,b］和任意的yhy2成立，则称f(x,y丿对y满足利普希茨(Lipschitz)条件，厶称利普希茨常数.若f(x,y)在区域G连续，关于y满足利普希茨条件，则上述一阶常微分方程的初值问题的解存在11唯一.我们以下的讨论，都在满足一阶常微分方程组常表述为：(a

4、=儿+力［3儿-儿_］/2同样，我们也可导出如卜•隐式的二阶、三阶和四阶亚当姆斯格式：r几+1=儿+力［儿+1+丈］/2.儿+严儿+力［5儿+1+8儿-儿_］/12'儿+1=儿+/2［9汕+19儿-5治+儿_2】/24我们可以方便地估计出亚当姆斯预报校正系统的截断误差，从而依据这种估计将该系统就可改进为如卜•精度更高的计算方案：预报几+i=儿+力（55儿-59九+37儿_2一9儿』）/24251/、叫+严仇+1+雨（q—pj叫+严/（戈+1，叫+JG+1=儿+力（9加〃+]+19儿一5儿-+儿_2）/24校正19270儿+1=/（兀>2+1，儿+1）2、Runge-Kutta方法

5、的构造改进的Euler方法可写为构造差分公式心=/（£+力,儿+碣）儿+严儿+/奶（+丸2£+・・・+心心）&=/（£,儿）K2=f（xn+a2h,yn+hfi2iKx）Kp=f（xn+aph,yfl+逹邛心-1=1其中｛心8,加｝为待定参数.若此公式的局部截断误差为0(hp+1),称公式为P阶Runge-kutta方法，简称p阶R-K方法。四阶标准R-K公式宀产儿+殳凶+2心+2瓦+心)OKi=/(£,儿)"瓦=/(£+#,儿+#K[)K3=f(Xn+井，儿+｝hK2)K4=/(£+〃,儿+加3)二、具体问题：对于以下的常微分方程的初值问题ry'=・y+2cosx0

6、(O)=l其精确解sinx+cosx选取步长使四阶Adams预测-校正算法和经典RK法均稳定，分别用这两种方法求解微分方程，将数值解与精确解进行比较，输出结杲。其中多步法需要的初值由经典RK法提供。(1)用四阶Runge-kutta方法求解，根据计算结果画出解的图形。(2)用四阶Adams方法求解，根据计算结果画出解的图形。三、用Matlab语言编程解决相关问题1四阶Runge-kutta方法的Matlab编程实现functionclassic_rk4()n=input(*W输入插值节点数n=);y(i)=i;f0(1)=1;%fO=cosx+sinx为精确值h=pi/n;%步长

7、x=0:h:pi;k=2;cps=1.Oc-3;fork=l:nfO(k+1)=cos(x(k))+sin(x(k));k1=-y(k)+2*cos(x(k));k2=・(y(k)+h*kl/2)+2*cos(x(k)+h/2);k3=・(y(k)+h*k2/2)+2*cos(x(k)+h/2);k4=-(y(k)+h*k3)+2*cos(x(k)+h);y(k+l)=y(k)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);subplot(3,l,l);plot(x,fO,'k')