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1、MATLAB软件在常微分方程教学中的应用刘蒙淮阴师范学院数学科学学院摘要：结合常微分方程定型理论中的若干知识点，木文对Matlab软件在常微分方程教学中的应用进行了初步探讨，以期激发学生学4该课程的积极性，提高教学效率。关键词：Matlab;常微分方程;教学;作者简介：刘蒙，男，安徽萧县人，淮阴师范学院，数学科学学院，副教授。基金：国家自然科学基金(11301207)常微分方程是普通高校各数学专业的核心课程之一，是学生口后在实际工作屮解决问题的重要工具。我校在教学中采用的东北师范大学微分方程教研室编
2、著的《常微分方程》教材UL但是，在现代常微分方程的研宄中，主流课题早己不再是显式求解方程，而是定型分析解的特征。因此，我们在教学中力争向学生多介绍一些常微分方程的定型理论知识。但是由于课时量偏紧，且该理论内容抽象、复杂，因此，如何改革教学方法提高常微分方程定型理论的教学效果成为重要的问题。现阶段，主流数学软件主要有Matlab、Maple和Mathematica,其中Maple和Mathematica精于符号计算，而Matlab的矩阵运算和图像处理功能更胜一筹，因此应用最为广泛1^1。将Matlab
3、恰当地引入到常微分方程的教学中可以降低教与学的难度，通过对图形的直观认识可以激发学生的学习兴趣，还可以提高学生的理解能力Wl。一具体例子例1考虑如下Lotika-Volterra捕食者-食餌模型:其中X：(t)和*2(t)分别表示t时刻食饵物种的密度和捕食者物种的密度，ri表示食饵物种的内禀增长率，aH>0和a22>0分别表示食饵物种和捕食者物种的种内密度制约系数，al2〉0表示捕食者对食饵的捕获率，r2〉0表示捕食者物种的死亡率，a2l>0表示食物转化率。容易看出，模型(1)有三个平衡点：利用常微
4、分方程平面定型理论分析可得:若rXO则平衡点A全局渐进稳定;若ri>0,r,a2ir2ai„则平衡点C全局渐进稳定。此处，若使用MatUb软件做出图形，学生能够直观感受。为此目的，编写如下M文件：图1(a)、图1(b)和图1(c)的M文件除了^的值不同之外其余皆相同。在图1(a)中我们选取rF-0.1。根据理论分析结果可得平衡点A是全局渐进稳定的，参见图1(a)。在图1⑹中我们选取rpO.1。根据理论分析结果可得平衡点B是全局渐进稳定的，参见图1(b
5、)。在图1(c)中我们选取ri=0.7。根据理论分析结果可得平衡点C是全局渐进稳定的，参见图1(c)。图1all=0.4,al2=0.3,a21=0.2,a22=0.2,r2=0.3,xl(0)=0.5,x2(0)=0.2,.(a)rl=-0.1;(b)rl=0.1;(c)rl=0.7.下载原图例2考虑如下Lotlka-Volterra竞争模型：其中Xi(t)表示t时刻物种i的密度，ri〉0表示物种i的内禀增长率，aiO表示物种i的种内竞争系数，au〉0(i#j)表示种间竞争系数。容易看出，模型⑵有
6、四个平衡点：其中.利用常微分方程平面定型理论分析可得:若△AO，A2〉0,则平衡点「4全局渐进稳定;若A,〉0,A2<0,则平衡点「2全局渐进稳定;若A/0,a2>o,则平衡点r3全局渐进稳定。若a/o，a2<0,贝U平衡点r4是一个鞍点,且存在一条通过的「4分割线。该分割线将第一象限分为不重合的两部分。位于分割线以上的解趋向于而位于分割线之下的解趋向于「2。这就是著名的竞争排斥原理，其生物学解释为具有相同或相近习性的两个物种不能同时或者长吋间的在同一生态位生存1^1。此处，也可以借助使用Matla
7、b软件做出图形，利于学生接受。本例中的M文件与例1类似。图2(a)、(b)和(c)的M文件除了^的值不同之外其余皆相同。在图2(a)中我们选取n=0.6。根据理论分析结果可得APO,A2<0,则平衡点r2是全局渐进稳定的。在图2(b)中我们选取r^O.1。根据理论分析结果可得△,〈()，A2>0,平衡点是全局渐进稳定的，参见图2(b)。在图2(c)中我们选取ri=0.5。根据理论分析结果可得A々0,A2>0,平衡点「4全局渐进稳定，参见图2(c)。阁3与阁2的M文件类似，以说明初值对模型性质的影响。
8、阁3(a)和阁3(b)的M文件除(0)的值不同之外其余皆和同。在图3(a)中我们选取x,(0)=0.9。根据理论分析结果可得A,<0,A2<0，因此平衡点r4是一个鞍点。参见图3(a)，「2全局渐进稳定。在图3(b)中我们选取x:(0)=0.1。根据理论分析结果可得A'o，A2<0，因此平衡点r4是一个鞍点。参见图3(b)，r3全局渐进稳定。图2all=0.4,al2二0.3,a21=0.2,a22:0.2,r2=0.3,xl(0)=0.5,x2(0)=0.2,.(a
