XPPAUT软件在《常微分方程》教学中的应用.pdf

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1、第3O卷第4期大学数学Vo1．3O，№．42014年8月COLLEGEMATHEMATICSAug．2014XPPAUT软件在《常微分方程》教学中的应用刘宣亮(华南理工大学数学系，广东广州510640)[摘要]通过几个实例，介绍了XPPAUT软件在《常微分方程》教学中的应用．通过利用XPPAUT软件的数值计算功能，动画功能，更加具体和形象地展现了《常微分方程》的一些基本概念和结论，从而进一步加深对这门课程的学习和理解，也有益于培养学生的想象能力和创新能力．[关键词]计算机辅助教学；XPPAUT软件；常微分方程[中圈分类号]O175．1

2、；G434[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(2014)04—0117—061引言在数学课程的教学中，计算机辅助教学起着越来越重要的作用．人们常用的数学软件有Matlab，Maple和Mathematica，这三种软件各有特点，文献[1]的附录介绍了它们在常微分方程中的应用．作为求解微分方程的专门的数学软件，XPPAUT(或XPP)软件使用起来更加方便，功能也更加强大[2]．该软件是由美国匹兹堡大学(UniversityofPittsburgh)数学系的BardErmentrout教授于上世纪九十年代所开发，可对微分方程的

3、解进行数值模拟，分支分析，并有动画功能等．所涉及的微分方程包括：常微分方程，偏微分方程，泛函微分方程，差分方程和随机微分方程．该软件得到了业界的广泛好评与大量使用，尽管该软件主要供微分方程的研究者使用，但将软件中的一些功能用于课堂教学，可使常微分方程的一些基本概念和结论的理解更加深人．特别是使用其中的动画功能，使所考虑的问题生动，形象地显现出来，从而进一步加深对问题的理解．该软件可在其主页http：／／www．math．pitt．edu／~bard／xpp／xpp．html上下载，按照说明书安装后，即可使用．2XPPAUT软件在教学中

4、的应用下面根据笔者在《常微分方程》教学中使用XPPAUT软件的几个教学实例来谈谈该软件在教学中的应用．使用的教材为王高雄等编的《常微分方程》第三版[1]，以下简称“教材”．①在讲解“教材”§1．2中的基本概念：“方向场”，“水平等倾斜线”，“垂直等倾斜线”，“奇点”，“轨线”时，有些同学理解不清楚，特别是对“方向场”概念的理解不明白．下面利用XPPAUT软件对一个二维的微分方程组，作出相应相图来进行讲解，可帮助理解这些概念．例1考虑“教材”§1．1节例5中的沃特拉(Volterra)被捕食一捕食模型面dx—(a-by)dy—，(一c+

5、如)，(1)为了作出其相图，首先编写如下的ODE文件．[收稿日期]2013—1I-06[基金项目]华南理工大学教学研究项目(Y1130050)118大学数学第3O卷#thevolterramodelx一x*(a—b*y)Y：Y(一c+d*x)para一0．8，b一0．4，c一0．1，d一0．2initx一0．5，y一0．5@total：50，dt=0．01，nmesh一200@xlo=0，y10—0，xhi一2，yhi一5，xp—X，YP—YDone在XPPAUT软件中运行该文件后，用鼠标点击左侧菜单栏的Nullcline，再在出现的

6、下拉菜单中点击●，New，图形中将会出现水平等倾斜线与垂直等倾斜线，如图1所示，实线为水平等倾斜线(一0．5)，虚线为垂直等倾斜线(一2)，两者的交点为方程组的奇点M．点击左侧菜单栏的Dir．field／flow，然后点击ScaledDir．Fld，选取Grid为16，回车后，图形中出现方向场，如图1所示．将刚才点击左侧菜单栏的Nullcline改为点击左侧菜单栏的Initialconds，在下拉菜单中点击Mice，然后在图形中点击相平面的不同位置，得到取不同初值的轨线图形，如图2所示，可以看出皆为闭轨线，与向量场的图形相吻合．■●●

7、I●-I，⋯／一一一～一～～～～～_／⋯⋯⋯一／，一一⋯⋯⋯一～，一一～⋯一⋯一、i，一～～～、、、、、、、、f，／■、、、、～～、、、、～‘●ft～．一，，≯，，，，，，，、、_-一一一⋯，，⋯●⋯⋯一⋯一一图1方程组(1)的方向场，等倾斜线与奇点图2方程组(1)的轨线②在“教材”§4．2．4节的质点振动问题中，讨论了四种不同类型的质点的微小振动问题，其振动方程是在很小，sin9用近似代替时给出的，如果不作近似代替，则方程的解不能用初等函数表示．下面我们以有阻尼自由振动为例，在不作近似代替时，来描述如何用xPPAuT软件来画出方程的

8、积分第4期刘宣亮：XPPAUT软件在《常微分方程》教学中的应用119曲线，以及使用XPPAUT软件的动画效果来演示该振动问题，从而对质点振动问题的理解更加生动、具体．例2考虑有阻尼自由振动方程：d+‘d+’si“n=一o