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时间:2020-04-09
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1、第六节微分方程应用举例一、微分方程的建立与应用二、几何问题的简单方程模型三、力学问题的简单方程模型华南理工大学数学科学学院杨立洪博士一、微分方程的建立与应用1.用微分方程解决实际问题的一般过程:(3)利用求得的解说明它所反映的事实。(2)求解微分方程;相应的初始条件;(1)建立微分方程,并根据实际问题提出微分方程。(2)间接法:通过微元分析或数学运算确定微分方程;(1)直接法:利用有关的科学定律直接写出2.建立微分方程的常用方法:本节只介绍几何、力学方面的例题(3)电学问题:利用电学中的原理。条
2、件等;(2)力学问题:利用牛顿第二定律,力的平衡(1)几何问题:利用导数与积分的几何意义;3.分类二、几何问题的简单方程模型利用微分方程处理有关几何问题时,导数与积分的几何意义常常是建立微分方程的依据,具体表现在:在解决问题过程中,常常用到切线斜率、面积、体积、弧长等计算公式。解设所求曲线;在曲线上任取一点令,得,故点;由题设,,即例1求过定点A(0,a)的曲线,使它的切线MT与X轴的交点T到切点M的距离等于切线在X轴上的截距OT的长。;M(x,y),作切线;两边积分得即故,这是一族与X轴再由,
3、得,故所求曲线方程为。相切于原点的圆族。,,,则,,这是齐次方程,令化简得:例2试在第一象限中求一光滑曲线,使,并且使曲线上任一点处所作X轴的垂线,与两坐标轴以及曲线本身所围图形的面积值,等于这段曲线的弧长值。依题设有;设M(x,y)为曲线上任意点,A(0,1)为曲线y解两边对求导,得:∴轴的交点。将代入上式,得C=1,故所求曲线为即这是可分离变量方程,解之得:,.即,三、力学问题的简单方程模型设降落伞的质量为,下落速度为。降落用。重力大小为,方向与一致;阻力大小为(为比例系数),方向与相反。所
4、以降落伞所受总外力为伞在空中下落时,受到重力P与阻力R的共同作解例3设降落伞从跳伞塔下落后,所受空气阻力与速度成正比,若降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为零,求降落伞下落速度与时间的函数关系。该微分方程是可分离变量的方程,分离变量后,根据牛顿第二定律,函数满足方程.整理后,得所求特解为即两端积分按题意,初始条件为0
5、0==tu,(2)是时间的单调增函数;(1)0<<;(3)当→+时,→,称为极限速度。可见,在下落阶段,降落伞是加速运动,但随着时间推移,而逐渐接近于匀速运动。度有如下规律:从特解的
6、函数关系式可以看出,降落伞的下落速设在海拔米处每平方厘米的大气压力为P。其中为大气密度,又由于大气压力与大气密(为比例常数),例4设在海平面上每平方厘米大气压力为9.8N,海拔高度为500m时,每平方厘米大气压力为9N,求大气压力与海拔高度的关系。成正比,即等于该空气柱的重量,即根据力的平衡条件知,大气压力的改变量解,______________________________取一底面积为单位面积,高为的空气柱,分离变量,并积分得其中。由题设,代入上式得。因而得大气压力与海拔高度的关系为,,于是
7、,大气压力满足方程,,1.本节通过例题介绍微分方程在几何,力学小结:过程及建立微分方程的方法。2.要求掌握用微分方程解决实际问题的一般问题中的应用;重点:压强、压力。2.力学问题:牛顿第二定律、力的平衡条件、比例关系;1.几何问题:切线、面积、弧长、体积、距离、主要题型:建立微分方程所涉及到的其他知识。难点:微分方程在几何、力学中的应用。课堂练习1.质量为100的物体在力的作用下作直线运动,此力与时间成正比,与物体运动速度成反比,已知当秒,速度为8米/秒,力为,问什么时刻物体的速度为12米/秒?
8、由牛顿第二定律知,F=ma,由得C=63,特解为V2=t2+63,再令V=12(米/秒),1.解秒时,V=8米/秒,F=故,为通解。课堂练习题解代入得t=9秒。从而得,,自测题2.求通过点(1,1)的曲线方程,使该曲线在区间上所形成的曲边梯形面积的值等于该x>1。曲线终点的横坐标x与纵坐标y之比的2倍减去2,其中1.求一曲线方程,使它通过原点,且在任一点处的切线斜率等于2x+y。答案答案3.镭的衰变速度与所存镭的质量M成正比,已知时镭的存量为M0,求在衰变过程中,镭的含量M(t)随时间t变化的规
9、律。答案1.解由得,故所求曲线为自测题题解。这是一阶线性非齐次方程,其通解为依题意,原问题为yxy+=2'返回2.解方程两边求导得由题意有分离变量得。利用初始条件,最后得所求曲线为即。积分得即返回3.解其通解M=C,再利用初始条件,得,从而得。(k>0)由题设有返回
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