微分中值定理及其应用ppt课件.ppt

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1、第四节微分中值定理及其应用因为导数是函数随自变量变化的瞬时变所以可借助导数来研究函数.但每一点的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态,要用导数来研究函数的整体性态,还需架起新的“桥梁”.化率,导数在某个区间内所具有的一些重要性质,它们都与自变量区间内部的某个中间值有关.第四节（一）微分中值定理推广泰勒公式(第五节)一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、小结练习题几何事实:本节的几个定理都来源于下面的明显的在一条光滑的平面曲线段AB上,⌒至少有与连接此曲线两端点的弦平行.一点处的切线连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于x轴的切线.有水平的切线物理解释:变速直线运动在折返

2、点处,瞬时速度等于零.几何解释:费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的Fermat大定理:Fermat大定理1994年得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.费马引理有定义,如果对有那么函数的驻点(Stationarypoint),稳定点,临界点(Criticalpoint).内的某邻域在点设函数)()(00xUxxf,)(0存在且xf¢一、罗尔(Rolle)定理极值点罗尔(1652–1719)法国数学家。罗尔年轻

3、时因家境贫困，仅受过初等教育，1682年，他解决了数学家Ozanam提出的一个数学难题，受到学术界的好评。此后担任初等数学教师和陆军部行征官员。1685年进入法国科学院，担任低级职务，到1690年才获得科学院发给的固定薪水。此后他一直在科学院供职，罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指出了：在多项式方程的两个相邻的实根之间，方程至少有一个根。一百多年后，即1846年，尤斯托.伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理。Rolle定理(1)(2)(3)使得如,Rolle定理肯定了的存在性,一般没必要知道究竟等于什么数,只要知道存在即可.证Ro

4、lle定理(1)(2)(3)使得证Rolle定理(1)(2)(3)使得所以最值不可能同时在端点取得.使有由Fermat引理,定理条件不全具备,注结论不一定成立.Rolle定理(1)(2)(3)使得]1,0[,)(Î=xxxf例1证零点定理即为方程的小于1的正实根.(1)存在性(2)唯一性对可导函数f(x),f(x)=0的两实根之间,在方程的一个实根.Rolle定理还指出，至少存在方程满足Rolle定理的条件.矛盾,故假设不真!例2不求导数判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个实根以及其所在范围解：f(1)=f(2)=f(3)=0f(x)在[12][

5、23]上满足Rolle定理的三个条件在(12)内至少存在一点x1使f(x1)=0x1是f(x)=0的一个实根在(23)内至少存在一点x2使f(x2)=0x2是f(x)=0的一个实根f(x)是二次多项式只能有两个实根分别在区间(12)及(23)内思考题：试证方程分析注意到:证设且Rolle定理即试证方程思考分析将结论交叉相乘得辅助函数F(x))()()()()()(),,(xxxxxgfbggfafba¢¢=--Î$使得)()()()()()()()(bgfgfgfgafxxxxxx¢-¢=¢-¢0)()()()()()()()(=¢+¢-¢-

6、¢bgfgfgfgafxxxxxx0)]()()()()()()()([=¢+¢-¢-¢=xxbgxfxgxfxgxfxgaf证设辅助函数因此F(x)满足Rolle定理的条件.)()()(xgafxF¢=¢)()(bgxf¢+)()(xgxf¢-)()(xgxf¢-即得证毕.)()()(xgafxF¢=¢)()(bgxf¢+)()(xgxf¢-)()(xgxf¢-)()()()()()(xxxxxgfgfgaf¢-¢-¢0)()(=¢+bgfx练习分析且内可导在上连续在设,),(,],[)(babaxf证即且内可导在上连续在设,),(,],[)(babaxf).,(,0)(,0)(

7、)(baxxfbfafι==定理由Rolle拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.24注拉格朗日中值定理(1)(2)使得二、拉格朗日(Lagrange)中值定理;],[上连续在闭区间ba;),(内可导在开区间ba几何解释:证作辅助函数由此得Lagrange中值公式且易知微分中值定理它表明了函数在两点处的函数值的单