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1、三、微分在近似计算中的应用1.计算函数的近似值(2)(1)函数增量2.常用近似公式：的近似值.解:设取例6求①②的近似值.解:例7计算第四节微分中值定理及其应用第二章一、函数的极值及其必要条件二、微分中值定理三、L’Hospital法则一、函数的极值及其必要条件则称为的极大值点,称为函数的极大值;则称为的极小值点,称为函数的极小值.极大值点与极小值点统称为极值点.1.定义【注】函数的极值是函数的局部性质.例如,是极大值是极小值为极大值点,为极小值点,区别最值和极值:区间内部的最值一定是极值，但极值不一定是最值.2.可导函数取得极值的必要条件定理4.1(F
2、ermat定理)费马定理证明:则证毕二、微分中值定理1.罗尔（Rolle）定理(定理4.2)满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使则在(a,b)内至少存在一点几何意义：连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的切线.若两端点连线是水平的,则在两端点之间的曲线段上必有一点的切线也是水平的.证:（1）若M=m,则因此（2）若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不妨设则至少存在一点使则由费马引理得不等.【注】1.定理条件破坏任何一条,结论不一定成立.例如,不满足闭区间上连续不满足开区间内可导不满足端点值相等例1解：
3、满足罗尔定理条件.例2证由零点定理知即方程存在小于1的正实根.矛盾,例3去掉Rolle定理的第三个条件（即f(a)≠f(b)），是否也存在曲线上一点，使得该点处切线与端点连线弦AB平行？若答案是肯定的，该切线斜率=？?问存在BbxayoABBBcξB2.拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导则至少存在一点使得【注】Lagrange定理是最重要的微分中值定理.拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.a>b时，Lagrange公式也成立.Rolle定理的推广作辅助函数显然,在[
4、a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在即定理结论成立.证毕Lagrange定理：【注】Lagrange公式的常用形式：有限增量公式比较：推论4.2证:充分性显然.下证必要性.得由的任意性知,在I上为常数.例4证明等式经验:欲证时只需证在I内证:设由推论4.2可知(常数)令x=0,得推论4.3作业4;6;7;8；第135-136页习题2.4(A)12。例6证由上式得3.柯西(Cauchy)中值定理(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导则至少存在一点及满足:(3)在开区间(a,b)内Langrage定
5、理的推广分析:要证结论：证:作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯西定理的下述证法对吗?两个不一定相同错!上面两式相比即得结论.定理小结：1.条件不一定唯一柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率小结1.微分中值定理的条件、结论及关系2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理例7证分析:结论可变形为例8证由柯西定理知思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间上.方程2.设且在内可导,
6、证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.三、L’Hospital法则函数之商的极限导数之商的极限转化(或型)洛必达法则定理4.5设函数f,g满足下列条件：1.型未定式存在(或为)(洛必达法则)(在x,x0之间)证:在指出的邻域内任取则满足柯西定理条件,故在以x,x0为端点的区间上【注】仍有类似的结论.例9例10例11例12注意:不是未定式不能用洛必达法则!2.型未定式存在(或为∞)定理4.6(洛必达法则)例13例14
7、例15=0=0解决方法:通分转化取倒数转化3.其他未定式解:原式例17求例16求解:原式取对数转化取倒数转化一般形式为：例18例19例20)0(0注意：1.洛必达法则不是万能的例如，再如，解极限不存在洛必达法则失效。但洛必达法则无法求解2.数列极限不能求导,转换为连续自变量后求导，用海涅定理.例如，海涅定理函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等，即作业12(1)(2);13;16(2)(4)(5)(7)(8)(12);18；19.第136-137页习题2.4(A)费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.
8、他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的
