借助函数知识利用数形结合解决函数与方程

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1、借助函数知识利用数形结合解决函数与方程、不等式的综合问题　程馨慧初中代数内容“方程”、“函数”是核心.同时函数又是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式等都与函数知识有直接的联系.例如：代数式2a2＋3a－1，可以看成是函数y＝2x2＋3x－1在x＝a时的值；方程ax2+bx+c＝0的根可以看成是函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标；不等式ax2+bx+c<0的解，可以看作是满足函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，并且与x轴没有交点时x的取值范围。因此这些都为同学们解决问题时提供了更优化的解题方法和策略。　　例1.已知正数a,b,c满足b>a+c，那么关于方

2、程ax2+bx+c=0的根的情况（    ）A有两个实根B有两个等根    C无实根    D不确定　　[点拨]这道题是要判断方程根的情况，也可将其转化为“函数”问题，只需判断二次函数与x轴的交点个数即可。因此画出满足题意的抛物线的草图是解题的关键。对于二次函数y=ax2+bx+c，满足a>0,b>0,c>0，a-b+c<0,此时抛物线与x轴有两个交点，因此方程ax2+bx+c=0有两个实根。　　例2.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两根一个小于1，一个大于1，求实数k的取值范围。　　[点拨]本题若直接由方程的根进行求解，比较繁琐，计算量很大.可以从函数观点对应

3、分析，转化为一元二次不等式进行求解.　　[解析]设y=2kx2-2x-3k-2，由已知条件得：k≠0.①当k>0时，二次函数y=2kx2-2x-3k-2的图象开口向上，与x轴的交点位于点（1，0）的两侧，则当x=1时，y<0即2k-2-3k-2<0；②当k<0时，二次函数y=2kx2-2x-3k-2的图象开口向下，与x轴的交点位于点（1，0）的两侧，则当x=1时，y>0即2k-2-3k-2>0.由①②可知：k·(2k-2-3k-2)<0.即k2+4k>0,∴k<-4或k>0.　　例3.若方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0有两个不等实根x1、x2，且0

4、x2<2，求实数k的取值范围.　　[解析]设y=7x2-(k+13)x+k2-k-2.由题意画图，该图象成立须满足条件如下：①当x=0,y>0；②当x=1,y<0；③当x=2，y>0.由①②③可得-2　　[提升]方程的两实根，也就是抛物线与x轴两交点的横坐标，因此，我们用函数的观点和数形结合的方法来解决此题会更简单。这里将此类问题的转化方法归纳如下：（1）当二次方程ax2+bx+c=0(a>0)存在两实数根，且一正一负时，可转化为函数y=ax2+bx+c=0(a>0)与x轴有两个交点，一个位于x轴正半轴，一个位于x轴负半轴的问题.此时二次函数

5、须满足x=0y<0.（2）当二次方程ax2+bx+c=0(a>0)存在两正实数根时，可转化为函数y=ax2+bx+c=0(a>0)与x轴的正半轴有两个交点问题.此时二次函数须满足①Δ≥0；②x=0y>0；③-■〉0.（3）当二次方程ax2+bx+c=0(a>0)存在两负实数根时，可转化为函数y=ax2+bx+c=0(a>0)与x轴的负半轴有两个交点问题.此时二次函数须满足①Δ≥0；②x=0y>0；③-■<0.　　　例4.是否存在这样的实数k，使二次方程x2+(2k-1)x+(3k+2)=0有两个实根且两根都在2，4之间？如果有，试确定k的取值范围。　　[点拨]此题意在考查

6、用二次函数的图象讨论一元二次方程实根的分布，探求参数的取值范围，旨在渗透转化思想、函数思想和数形结合思想。画出满足题意的抛物线的草图是解题的关键。　　[解析]设二次函数y=x2+(2k-1)x+(3k+2),题中方程两实根介于2和4之间，即所设函数的图象与x轴的两交点位于（2，0）（4，0）之间，如图，该图象成立须满足条件如下：(1)△≥0(2)当x=2时，y>0，（3）当x=4时，y>0，(4)对称轴x=m应满足2　　　在解决数学问题时倘若能充分运用数学知识的辅助图形，将数学知识的内在联系形象化、直观化，使抽象问题一目

7、了然，把问题通过数与形之间的对应关系转化为一个图形问题，往往能迅速地较为简洁地得到解题思路和方法。　　例5.不等式x+

8、x-2a

9、>1的解为全体实数，求a的取值范围.　　[点拨]此题可将含绝对值的不等式问题转化为分段函数，借助函数图象数形结合来解决问题。　　[解析]∵不等式x+

10、x-2a

11、>1的解为全体实数　　∴设y=x+

12、x-2a

13、=　　∴a>　　转化思想是数学思想方法的核心，从广义上讲，数学解题就是恰当地运用已知条件将问题逐步转化，从而获得解决的过程。有些问题如果直接解题难以入手，那么思维不应停留在原问题上，而应换一个方向