高中数学：函数与方程思想、数形结合思想

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1、第1讲　函数与方程思想、数形结合思想1．函数与方程思想函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的联系．函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要体现在依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，是历年高考的重点和热点．方程的思想与函数的思想密切相关：方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究；方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域；函数与方程的这种相互转化关系十分重要．函数与方程的思想在解题中的应用可从以下几个方面思考：(1)函数与不等式

2、的相互转化，对函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和公式是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要，数列也可用方程思想求解．(3)①解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论；②立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．2．数形结合思想数形结合思想的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言有

3、机结合，达到抽象思维和形象思维的和谐统一．通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决．数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：(1)要彻底明白一些概念和运算法则的几何意义以及曲线的代数特征，对题目中的条件

4、和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；(2)选择好突破口，恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；(3)挖掘隐含条件，准确界定参数的取值范围，参数的范围决定图形的范围．数形结合思想是重要的思维方式，在高考中占有非常重要的地位．近几年的高考题中的曲线方程问题、函数与不等式问题、参数范围问题、可行域与目标函数最值、向量两重性等，都用到了数形结合的思想方法，它不仅是我们解题的一种思想方法，还是我们进一步学习、研究数学的有力武器.安全文明网http://www.aqwm.net/2016安全文明驾驶常识模拟考试安全文明驾驶常识2016年安全文明驾

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6、文明驾驶常识考试探究提高研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．规律方法(1)等差、等比数列中，通项公式、前n项和公式，可以看成n的函数，可以用函数方法解决．(2)数列求值问题的实质是解方程，所以，方程思想在数列问题中也有着重要的应用．探究提高考查直线与圆锥曲线相交时，往往要把直线方程与圆锥曲线方程联立，经过消参等过程求解相关问题，充分体现了函数与方程思想的应用．【训练1】若a，

7、b是正数，且满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为________．答案[9，＋∞)热点二　数形结合思想在解题中的应用[微题型1]利用数形结合思想解决与函数性质有关的问题【例2－1】已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lgx解的个数是________．解析由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0,1]的函数，又f(x)＝lgx，则x∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数，由图象可知共9个交点．答案9探究提高用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角

8、等复杂方程