函数与方程思想和数形结合思想

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1、函数与方程思想和数形结合思想主干知识整合1．函数与方程思想(1)函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决；(2)方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决；(3)函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在

2、动中求静，研究运动中的等量关系．2．数形结合思想(1)根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面；(2)数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结合思想，使某些抽象的数学问题直观化、形象化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，发现解题思路，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程；(3)数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野．【

3、百度百科】函数思想http://baike.baidu.com/view/2045453.htm【百度百科】属性结合http://baike.baidu.com/view/134322.htm要点热点探究►　探究点一　列方程（组）解题例1(1)公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于(　　)A．18B．24C．60D．90(2)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.【

4、分析】(1)根据数列中的基本量方法，列方程组求数列的首项和公差；(2)根据弦长公式建立关于p的方程．(1)C　(2)2　【解析】(1)由a＝a3a7得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，得2a1＋3d＝0，再由S8＝8a1＋d＝32得2a1＋7d＝8，则d＝2，a1＝－3，所以S10＝10a1＋d＝60.故选C.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知过焦点的直线方程为y＝x－，联立有消元后得x2－3px＋＝0.又

5、AB

6、＝x1＋x2＋p＝8，解得p＝2.►　探究点二　使用函数方法解决非

7、函数问题例2(1)已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5，则数列{an}前n项和Sn的最大值是________．(2)长度都为2的向量，的夹角为60°，点C在以O为圆心的圆弧(劣弧)上，＝m＋n，则m＋n的最大值是________．【分析】(1)根据方程思想求出数列的首项和公差，建立Sn关于n的函数；(2)将向量坐标化，建立m＋n关于动向量的函数关系．(1)4　(2)　【解析】(1)设{an}的公差为d，由已知条件，解出a1＝3，d＝－2.Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2.所以n＝2时

8、，Sn取到最大值4.(2)建立平面直角坐标系，设向量＝(2,0)，向量＝(1，)．设向量＝(2cosα，2sinα)，0≤α≤.由＝m＋n，得(2cosα，2sinα)＝(2m＋n，n)，即2cosα＝2m＋n,2sinα＝n，解得m＝cosα－sinα，n＝sinα.故m＋n＝cosα＋sinα＝sin≤.变式题若a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是(　　)A．(1，)B．(，)C．[，]D．(，)B　【解析】e2＝2＝＝1＋2，因为是减函数，所以当a>1时，0<<1，所以2

9、究点三　联用函数与方程的思想　　例3已知函数f(x)＝x(x－a)2，g(x)＝－x2＋(a－1)x＋a(其中a为常数)．(1)设a>0，问是否存在x0∈，使得f(x0)>g(x0)？若存在，请求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由；(2)记函数H(x)＝[f(x)－1]·[g(x)－1]，若函数y＝H(x)有5个不同的零点，求实数a的取值范围．【解答】(1)假设存在，即存在x0∈，使得，f(x0)－g(x0)＝x0(x0－a)2－[－x＋(a－1)x0＋a]＝x0(x0－a)2＋(x0－a)(x0＋1)＝(

10、x0－a)[x＋(1－a)x0＋1]>0，当x0∈时，又a>0，故x0－a<0，则存在x0∈，使得x＋(1－a)x0＋1<0，①当>即a>3时，2＋(1－a)＋1<0得a>3或a<－，∴a>3；②当－1≤≤即03，∴a无解．综上：a>3.　(2)据题意有f(x)－1＝0有3个不同的实根，g(x)－1＝0有2个不同的实根，且这5个实根两两不相