浅谈数形结合思想解决函数问题

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1、浅谈数形结合思想解决函数问题•中学数学论文浅谈数形结合思想解决函数问题黄广言(温州市第七中学，浙江温州325000)摘要:数形结合是将数学的抽象思维理解附以图形，化无形为有形，帮助学生更为具体化的理解学习中所遇到的数学问题，以图形来还原数学的本质。利用数形结合可以锻炼数学思维，以及数学与图形相联系的能力，更容易剖析数学所要硏究的本质问题，以最为简洁易于思考的方式来完成对于数学的研究。关键词:数形结合；数学应用；思考方式中图分类号:G633文献标识码：A文章编号:1005-6351(2013)-05-0096-02在数学学习中运用数形结合思想的关键是将数字与图形之间

2、建立起某种对应关系，从而将抽象化的问题转向具体化。同时数形结合的思想也可以丰富数学的学习内容，增加学生对于数学学习的兴趣，使得学生更加直观简洁的了解数学问题。函数是中学生在数学学习与硏究中最常见的一类问题,因此函数问题也是中学生所必须克服的难关。函数问题的题型种类多，而且灵活度高。所以懂得如何利用数形结合的思想解决函数问题就成为中学生所必备的能力。往往一些看似复杂的题型运用数形结合的思想去解决就变得易如反掌了。一、利用函数模型求参量取值范围函数参量方程是函数问题中最为常见,也是比较难的。难就难在参量的取值范围该如何取定，如果单凭一味的计算不仅繁碎也容易出现错误，这

3、时利用数形结合的方式将参量标示出来就可很清晰的确定参量的取值范围。方便了计算，也明确了做题的思路。11刃1.0V/W10例1：已如函«/(0=1Az若机八二互不相尊,■人龙)=/(y)=/(z).求巧z的取值范圈。解析：根据已知的条件可以做出丙数/("的图象•从靈中我们很容易读出()—＜丨・丨"＜1()・10＜二＜12・通过/U)=/(＞)找们可以知晓-血=1”•故xy=L即10分＜12。图1二、利用函数模型求极值问题对于函数的极值问题,不少的同学找不到合适的办法,只能通过化简来求岀最终的结果，但是计算量可想而知，而利用数形结合的方法便可以很直观的标示岀函数的最值

4、。例2：求解函数＞=^±Hi，n的最大值和杲小值。b+co&i解析:先把函数解析式变形y=览亟=皿二％这就O+cosxco惑-(-n)可以当作是定点3/(-6,-4)与单位圆上的点N(coax用nx)连线的斜率。因此,最值就是直线W与单位圆相切时的斜率。将与圆川=1相切斜率为I的切线方程设为V=b±/TTF由于切线过定点，"(-6.-4)•则-4二-6/±/TTF图2这样通过运用数形结合的思想将这样一道求函数极值的题转换为求直线的斜率，将复杂的问题简单化，明确了解题的方向。三、利用数形结合思想求解函数零点问题求解函数的零点个数是中学中常见的题型,而运用数形结合的思

5、想来解答这样一个问题是最为直观的方法。有些函数的表达式十分复杂，所以很难将其化简,此时做出函数的大体图像，一目了然就可以直接确走函数的零点个数。例3:求f(x)=lgx-sinx,在［0,10］上的零点个数。解析:对于这道例题来说，画出函数图象看它和x轴的交点是比较困难的。但是要是画函数f(x)=lgx与f(x)=sinx的图象则是比较容易的，于是我们想到分别画出两条函数的图象，这样观察两条函数图像的交点就可以求解这个问题。通过观察图象就很容易发现函数f(x)=lgx与f(x)=sinx在xG［0,10］交点的个数为3个，所以函数f(x)=lgx-sinx在［0,

6、10］上的零点的个数为3个。四、利用数形结合思想解三角函数问题对于三角函数问题，伴随着学生的整个中学过程，这是学生在数学学习过程中极为重要的部分。无论是中考还是高考，三角函数都是非常重要的考点。所以对于三角函数的理解掌握就显得异常重要。可是三角函数又是比较抽象的，所以运用数形结合的思想去解决三角函数问题的关键就在于可以把三角函数问题具体化，从而更加容易分析其本身的性质。通常运用单位圆结合三角函数图象来解决三角函数的问题。例4:求方程sin2x=sinx在区间(0,2n)内解的个数情况。解析:对于这样一道例题来说，直接判断方程在指定区间内的解的个数是很难判断的。所以

7、将yl=sinx和y2=sin2x图象画出来z观察在区间(0,2ti)内交点的对于上一道例题，或许并没有完全的展示出数形结合思想的优势，那么接下来这道例题，就很好的诠释了数形结合思想的好处。数形结合就是将数与形结合在一起，使得抽象的思维和形象的思维并存。充分的将二者之间优劣势相互互补，至此达成一种最佳的思考方式。应用数形结合的思想可以将繁琐问题简单化，抽象问题直观化，从而以最最明了的方式解决数学问题。应用数形结合的方式并不是最终的目的z重在培养学生的思维方式。在解决实际的问题时，应该时刻运用数形结合的思想。懂得将数与形相互转换，建立一种对应关系,并且合理的应用。学

8、生在平时的