浅谈如何利用数形结合方法解决代数问题

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1、浅谈如何利用数形结合方法解决代数问题龙海二中王进忠数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的一门科学,它的产牛与发展是“数”与“形”相互依存，相互促进的过程。它们在一定条件下是可以相互转化的，如某些代数问题、三角问题往往都冇儿何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得肓观，以便于探求解题思路或找到问题的结论。数形结合，不仅是一种重要的解题方法,而且也是一种重要的思维方法，因此它在中学数学中占有重要的地位。纵观这几年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽彖的代数问题，常见的如在解方程和解不等式屮、在求函数的值域和最值问题中、在求三角函数及数列问题

2、屮，不仅直观易发现解题途径，而R能避免复杂的计算与推理，人人简化了解题过程，可起到事半功倍的效果，这在解选择题、填空题小更显其优越性。下面我们就通过几个例子来进一步说明如何利用数形结合思想解决代数问题。1.利用数形结合解决代数方程问题。解方程时如果只要求知道根的个数而不必具体求出它的解，运用图形解题则是一种非常好的方法，有时只有图形才知道具体根的个数。4x—4xv1例1.函数/(%)=9~的图彖和函数g(x)=log2x的图彖的交点个数x~-4x+3x>1=gM是()A.4B.3C.2D」解:作岀函数门兀)与g⑴的图象,如图所示,容易看出/(x)与g(x)共有A、C三处交点。说明

3、:我们在解此题的关键是正确地作出函数的图象，如果不作出函数的图彖，本题我们是无从下手解决的。2.利川数形结合思想处理不等式的问题。即从题口的条件和结论岀发着重分析其几何含义，从图形上找到解题思想例2.己知实数x、y满足错误!未找到引用源。，则z=2x—y的取值范围是；解：作出线性规划的可行域如图阴影部分所示，而z=2x-yffl当于将y=2x进行平移,当移到点A(5,3)时，z的最大值为7,当移到点B(・l,3)时，z的授小值为・5,故z=2x—y的分析：由不等式的左边的形式可以联想到肓角坐标平面上的两点间的距离公式，如图所设A(a,b),B(a+b,b+c),C(a+b+c,a+

4、b+c)则A=J/+b2]AB=y/b2+c2,BC=Vc2+a2

5、0C

6、=V2(a+/?+c)结合图形,显然有

7、0A

8、+AB+BC>C所以就冇J/+/?2+y/b2+c2+a/c2+a2>迈(a+Z?+c)。3.利用数形结合思想解决函数问题。函数图象的儿何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法，运用这种数形结合的思想有助于理解题意，探求解题思路。a,a>b例4•设对a、bwR,记maxla,bl={,则函数f(x)=maxllx+11Jx-2ll(xGR)的最小[h,a

9、兀+1

10、,y=

11、x-2

12、,在同一坐标系中分别作出其图彖

13、，如右图所示根据题意可知，函数f(x)的图象由图中的射线PA、PB构成，由],=一兀+2=兀+1解得y諾23所以函数/&)的最小值为y=-.例5.求两数y=厶2+2兀+17+厶？一6兀+13的最小值，并求相应的值。解：函数整理得=7(x+1)2+42+7(x-3)2+22,如图所示，问题町以转化为在x轴上求一点A(x,O)到点B(・l,4)和点C(3,2)的距离和最短,由于B、C在x轴同侧,故将C关于x轴作对称点C，(3,-2),则当B、A、C，三点共线时，

14、BA

15、+

16、AC

17、距离最短。此HjBA+AC=BC]=742+62=2V13,即为网+

18、g的最小值，而此时“

19、,所以

20、当—时，y的最小值为2皿4.利用数形结合思想解决三用问题。有关三介函数单调区间的确定或比较三和函数值的大小等问题，-•般先将函数化成基本三角函数的形式，借助于单位圆或三角函数的图象來处理。77例6.如图，函数y=2sin(Jix+),x^R,(其中0的图象与y轴交于点(0,Do2(I)求"的值；(II)设P是图彖上的最高点,M、N是图彖与x轴的交点，求而与莎的夹如.。解：(I)因为函数图象过点(0,1),所以2sinx=jrjr因为owew—,所以0=—o267T(II)由函数y=2sin(龙兀+—)及其图象,得6“和),叫,2),叫,0),所以PA7=(-1,-2,)^=(

21、1,-2)从而cos=PM・PN-

22、/w

23、15_n故=arccos

24、5175.利用数形结合思想处理数列问题。数列是一种特殊的函数，数列的通项公式及前n项和公式可以看做是关于正整数n的函数。所以可以借助函数的图象，把数列的有关问题转化为函数的冇关问题来解决。例7.设等差数列血｝的前n项和为片，已知tz3=12,512>0,513<0,若公差dvO,求耳,$2，・・・・,九中的哪一个值最大，并说明理由。解：设等差数列的首项为⑷,=na.+—(〃