浅谈数形结合在几类代数问题中的应用

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1、浅谈数形结合在几类代数问题中的应用摘要：数形结合是数学教学屮一种重要的思想方法，采用数形结合思想解决问题的关键是找准数与形的契合点.能将数与形巧妙的结合起來，有效的和互转化，使复杂的数学问题简单化.本文通过对不等式,方程，函数，复数儿类代数问题的解决，结合其儿何懣义，利川数形结合求解上述儿类代数问题的过程.关键词：数形结合，方程与不等式，函数，复数引言：数缺形，少直观;形缺数，难入微.数形结合思想就是一种重要的思想方法，它是指把代数的粕确数字与儿何的形象总观相统一，将抽象思维与形象总观相结合的一种思想方法.数形结合的思想能扬数Z长，取形Z优,使得数虽关系与空间形式珠联璧合，相映生辉.下面我们通

2、过数形结合的方法解决方程，不等式，函数，复数等问题，形成对数形结合思想的概括性的应用.一、不等式和方程1不等式的应用应用数形结合思想解不等式，要充分了解所求不等式的儿何意义.例1设变量x,y,z在区间(0,1)中取值，试证x(l-y)+y(l-z)+z(l-x)

3、y)，sca且二亍y(i_z)，sS/LBG+SCAB、+SbagVABC故有—兀(1一y)+—y(i一z)+—z(i-x)<—4444即Hl-y)+y(l-z)+z(l-x)vl。结论得证.例2解不等式厶+2>兀.分析：本题若用常规解法，需分两种情况x>0.[%<()(I*x+2>0或(II*9x+2>0x+2>x^1比较麻烦.若用数形结合，则比较简洁直观•具体解题如下：解令y,=VTf2,y2=x，则不等式V7+2>x的解就是使y,=77+2的图像在%=x的上方的那段对应的横坐标，如图2不等式的解集为&故不等式的解集为｛x-2

4、cos兀>sinx

5、,xG[0,2

6、/r]分析：显然不等式两边不能转化为求一般不等式的形式，而且不等式屮又含绝对值更不容易用常规的代数方法解答，这时我们不妨用数形结合的方法进行求解.将不等式两边的表达式我们看成两个函数.ya解令y,=cosx,y2=sinx,在[0,2龙]上作出它们的图像如图3,得到四个不同的交点，横坐标分別厝，9乎，乎而当兀在区间(3715龙、内时，y严cosx的图像都在y2=sinx图像的上方，所以可以得到原不等式的解集为c兀jx3兀5龙77T小.[4444例4已知〃为自然数，实数a

7、・・・+皿一2)(〃—1)10缶(处)>^4^-10氐(兀2-a)分析：很显然，此题川常规的代数方法解很困难•我们不妨结合对数函数的图像來解此题.当〃为奇数时，不等式(1)等价于loglog需)，y2=log(l(x2-ci),并做出它们的示意图，由x2-a=x解,由图4可知:出交点的横处标x（）,当刃为奇数时，原不等式的解集为当〃为偶数时，原不等式的解集为1+J1+4q21+Jl+4d22方程问题观察方程中的式子，将其转化为对应的函数，结合函数图形，解决相应的

8、方程问题，实现数与形相结合的思想.例5方程xj=2sinx的实数根的个数为（）分析：观察方程的特征,两边为不同的函数，没冇共性，只能结合函数图形，来判断根的个数，即利用数形结合的方法.丄解因为），=兀亍与y=2sin兀都是奇函数，故只需作x>0的部分.1当%>8时，有0〉2>2sinx,故图形5只需取［0,3兀］就行了.此外,当兀冷时,=—>2x丄〉2sin-,因此（0,2兀）内还有一个交点,288由对称性，故原方程有9个根.例6d为何值时，方程2q32+2q+i_q2二0的根在（-1,1）内？分析：由/hO我们可以运用数形结合的思想，通过相应的二次函数的图像解决此题.图6解因为/hO,故y=

9、lerx1+2处+1—夕的图像是一个开口向上的抛物线./(-1)>0%—1尸>0/(—)<0即<2a/(1)>0由图6我们町以看出，婆想使抛物线与兀轴的两个交点在(-1,1)范围内，必须满足条件--a2<02(0+1)2〉0从而口J解得g的取值范围为a>—f或qS-J,RaH±l.22二、函数问题1函数的定义域，值域例7已知实数满足不等式*；壽4,求函数“譬的值域.分析：由解析几何的知识可知，x,