如何在解决数学问题中渗透数形结合

如何在解决数学问题中渗透数形结合

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1、如何在解决数学问题中渗透数形结合摘要:代数与几何是中学数学的主要内容,其中代数是研究数和数量关系的学科,几何是研究形和空间形式的学科。在处理数学问题时,若能从数和形两个方面结合来思考,常能找到解决问题的最佳途径。关键词:中学数学问题解决数形结合数学问题解决的过程,就是数学思想方法的选择和运用过程。几何问题比较直观,代数问题比较抽象,抽象的代数问题一旦与几何图形结合就往往使问题简便,易猜测结果。而且一些纯代数问题结合图形来解,显得特别容易。本文拟在解决数学问题中,尝试探究数形结合方法的运用。一、借“数”解“形”即将几何问题数量化,通过“数”的计算和化

2、简来解决几何问题。在中学数学中常运用解析法、向量法、三角方法、微积分法研究几何问题。下面简单介绍其中两种方法。1.解析法在中学,数形结合思想方法运用最典型的是平面解析几何,这一思想应贯穿其内容的始终。在教学中,教师应帮助学生经历如下过程:先合理建立平面直角坐标系,建立曲线与方程的关系,运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系,进而将几何问题代数化;处理代数问题;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题。例1(2008普通高等学校招生全国统一考试北京卷(文史类)19)已知[wtbx]△abc的顶点a,b在椭圆x2+3y2=4上,c在直线l:

3、y=x+2上,且ab∥l。(ⅰ)当ab边通过坐标原点o时,求ab的长及△abc的面积;(ⅱ)当∠abc=90°,且斜边ac的长最大时,求ab所在直线的方程。分析:本题主要考查直线与椭圆的关系,椭圆、直线的方程及几何性质,弦长公式,点到直线的距离公式,解析几何中的最值问题。考查转化思想和方程思想、数形结合思想以及分析问题和解决问题的能力。解:(ⅰ)由题意易得,ab所在直线的方程为y=x。设a,b两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),联立方程组,由x2+3y2=4,y=x,得x=±1。由弦长公式得:

4、ab

5、=2

6、x1-x2

7、

8、=22。又ab边上的高h等于原点到直线l的距离,所以h=2,s△abc=12

9、ab

10、?h=2。(ⅱ)设ab所在直线的方程为y=x+m,由x2+3y2=4,y=x+m,得4x2+6mx+3m2-4=0。因为直线与椭圆有两个交点,所以由根的判别式得:δ=-12m2+64>0。设a,b两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由韦达定理得:x1+x2=-3m2,x1x2=3m2-44,由弦长公式得:

11、ab

12、=2

13、x1-x2

14、=32-6m22。又因为bc的长等于点(0,m)到直线l的距离,即

15、bc

16、=

17、2-m

18、

19、2,由勾股定理得:

20、ac

21、2=

22、ab

23、2+

24、bc

25、2=-m2-2m+10=-(m+1)2+11。由二次函数图像得:当m=-1时,ac边最长,(这时δ=-12+64>0)此时ab所在直线的方程为y=x-1。解析几何借助坐标系,把几何问题转化为代数问题来研究。它沟通了数学内部数与形、代数与几何。从此代数与几何相互吸取新鲜的活力,数学得到迅速的发展。2.向量法在用向量法研究几何方面,坐标使平面向量与它的坐标建立了一一对应关系,这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。特别是用空间向量处理空间问题,给立体几何注入了新鲜“血液”,空间元素间

26、的位置关系转化为数量关系,形式逻辑证明转化为数值计算。由于思路清晰,有规可循,降低了思维的难度,因此空间向量就成为处理空间问题的重要方法。这里不再举例说明。二、以“形”助“数”将代数问题形象化,通过“形”的直观和简捷来解决代数问题。几何直观能启迪思路、帮助理解,解决代数问题思路的获得常用“形”来帮助。即在代数的核心内容中渗透几何语言,借助几何直观形象帮助理解应用。通过以“形”助“数”,可将数量信息反映在图形上,借助形能直观表现数量间关系,从而获得解题思路。因此,在教学中,要鼓励学生借助几何直观进行思考、揭示研究对象的性质和关系,并且学会利用几何直观

27、来分析和理解数学。具体做法:把具体的数量关系,经过抽象,转化为适当的几何图形,从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系,解决数量关系的数学问题。函数这一内容是学习数形结合数学思想方法很好的载体。例2(2008普通高等学校招生全国统一考试湖北卷(文史类)13)方程2-x+x2=3的实数解的个数为______。分析:本题如直接解方程不易解出。若用数形结合思想,直观且容易得到结论。在同一直角坐标系内作出f(x)=2-x与g(x)=-x2+3的图像,观察两函数图像交点个数,易知答案为2。(作者单位:福建省厦门市第二外国语学校)

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