中学数学解题中数形结合问题

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1、中学数学解题中数形结合问题摘要：数量关系和空间图形是初等数学研究的对象，因而数形结合是一种极富数学特点的信息转换。在求函数的值域、最值问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理;而对于一些图形的性质，又可以赋予数量意义，寻找恰当表达问题的数量关系式，即可使几何问题数量化，以数助形，用代数的方法使问题得以解决。数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，发挥数与形两种信息的转换及优势互补，能够更好地体现数学直觉思维在数学思维中的地位。关键词：中学数学数形结合代数问题几何图形代数方法几何问题1.数形结合的基本思想8数形结合法就是根据数学问题的条件与结论之

2、间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙得结合起来，并充分利用这种“结合”寻找解题途径，使问题得到解决.通过数形结合解题可以有针对性地培养学生的思维能力.在求函数的值域、最值问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理；对于一些图形的性质，可以赋予数量意义，寻找恰当表达问题的数量关系式，即可使几何问题数量化，以数助形，用代数的方法使问题得以解决.数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化.2.借助或构造直观图来解决代数问题在数学问题中，我们可以通过对图形性质的讨论来直接反映函数、不等式，或看非常规问题中的变量之间的关系

3、，有时还能通过图形直观启迪解题思路.下面就从初等数学的角度，举例说明如何借助或构造直观图来解决代数问题.2.1数形结合在函数解题中的运用例1.求函数y=+的最小值.分析与解：该函数很复杂，直接用代数方法无法入手.观察到函数配方后可得到式子y=+，联想到两点距离公式.设点P（x，0），A（1，2），B（-3，-4），则该函数的几何意义为：动点P（x，0）到两定点A（1，2），B（-3，-4）的距离之和.（如图1）所以y=

4、AP

5、+

6、PB

7、＞

8、AB

9、（根据三角形两边之和大于第三边）即得y≥

10、AB

11、==，即y=.对于这个函数，若从代数方面入手十分复杂，且得不到解法.但是运用代数表达式中所表示出的形

12、联想到两点间的距离公式，即马上想到把代数式转化为几何表达式，题目便容易了，且形象、直观.2.2数形结合在不等式中的应用2..2.1三角不等式中的数转形问题8例2.若0＜a＜b＜，求证：＜＜.证明：（i）如图2在单位圆中作∠AOB=a，∠AOC=b.过B作圆O的切线，交OA的延长线于D；联结CB并延长交OA的延长线于E.在△COE和△BOE中，由正弦定理知=，=.因为OB=OC=1所以===1+.又因为BC＜弧BC=b-a，BE＞BD=tana＞a，所以＜1+=.又因为tana=AH，tanb=AD，所以===1+.而BG＞BE=tan（a-b），BF=sina＜a，所以＞1+=.（ii）如图

13、3所示在单位圆中作∠AOB=a，∠AOC=b；过点A，B分别作圆O的切线，交OC的延长线于D，E；过点B作OA的垂线，分别交OA，OD于F，G；延长OB交AD于H.由（i）（ii）得＜＜.注:对于与角的弧度有关的三角不等式，通常可应单位圆中几何图形的性质来证明.应用几何解三角问题的解法简明，而且使解答或结论反映在几何图形上，形与式结合，直观生动.2.2.2数形结合在一般不等式证明中的应用例3.已知正数a，b，c，a，b，c满足条件a+a=b+b=c+c=k，求证：ab+bc+ca＜k.8分析与解：此题通过构造性思维可把ab，bc，ca看作三个矩形的面积。k可看作边长为k的正方形的面积，从中构

14、造出下面的矩形，如图4.构造边长为k的正方形ABCD，且令DF=a，DG=AH=b，AG=BH=b，BF=c，CE=c，CF=a，并作出相应的矩形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，由S＞S+S+S，就有了k＞ab+bc+ca.从这个例题中可看出，有些数学问题可能是由一个几何问题演变而来，但它因脱去了几何外衣而成为抽象的代数问题.如果能够根据题目特点，构造出相应的几何图形，就会使问题形象、直观，解题方法简洁、巧妙.3.用代数的方法解决几何问题3.1用解析法解决几何问题在传统的几何教育中，主要使用“形到形”的性质的推理来学习几何知识，并培养逻辑思维能力.但是，使用“形到形”的性质的推理学习几何知识对大部分人来说是比较

15、困难的.但有些几何问题使用解析法就很容易得到解决.借助坐标系，应用代数方法研究解决数学问题的方法称为解析法.解析法通常用以研究几何图形的性质，因此，平面几何的许多问题都可以用解析法来解决.而且有些平面问题用解析法要比用几何法方便，且具有一般性.解析法也可以用来解某些代数、三角问题.这里举例说明解析法在中学数学中的应用.8例4.过圆O上任意两点P，Q的切线相交于点T，联结PQ，作直径AB平行PQ，直径CD垂直于