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1、向量法求空间角求空间角的大小，是立体几何的重点、难点，也是高考中的热点。运用向量解决这类问题，可以把几何关系转化为向量问题，从而求出角的大小。向量法的最大优点是思路清晰，过程简捷，可以不去直接做出角，从而降低了对空间想象能力和逻辑思维能力的要求。下面对用向量求空间角分类例说。一、两条异面直线所成的角1、求角的方法：设两条异面直线为L、L所成的角为。向量，分别的方向向量。因为两条异面直线所成的角（0，]，所以cos>0。又因为向量，的夹角，<，>，cos<，>的值的符号不定，所以cos==2、例题例1、（09福建17）如图，四边形ABCD是边长
2、为1的正方形，，，且MD=NB=1，E为BC的中点求异面直线NE与AM所成角的余弦值解析：如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标依题意，得。，所以异面直线与所成角的余弦值为评析：此题中利用向量的坐标法求出两向量的夹角的余弦值为负值，但两条异面直线所成的角的余弦值却为正值。二、直线和平面所成的角1、求角的方法：直线与平面所成的角为，是直线的方向向量，是平面的一个法向量，则sin==说明：两种情况都成立，所以在做题时无需考虑斜线的方向向量和平面的法向量的方向2、例题例2、(09辽宁18)（本小题满分12分）如图，己知两个正方形ABCD和DCEF不在
3、同一平面内，M，N分别为AB,DF的中点，若平面ABCD⊥平面DCEF求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；解：设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.设直线MN与平面DCEF所成角为。则M(1，0，2)，N（0，1，0），可得，又为平面DCEF的法向量，可得所以sin==所以MN与平面DCEF所成的角的正弦值为.二、二面角的平面角1、求角的方法：方法一：根据二面角平面角的定义，（1）中向量与夹角的大小就是二面角平面角的大小。（2）中向量与夹角的大小也是二面
4、角平面角的大小因此在解题中只需在两个半平面内与二面角的棱垂直的两个向量，求它们的夹角即可。方法二：利用平面向量的法向量来解决在以上四种情况中（1）（4）两种情况向量的夹角与二面角的平面角互补，（2）（3）两种情况向量的夹角与二面角的平面角相等。在解题时判断好法向量的方向，是以上四种中的哪一种，从而确定二面角的大小。不用判断二面角的平面角是锐角还是钝角。（二面角的平面角是锐角还是钝角，大部分看图就能直接看出来）2、例题例3：（09山东18）（本小题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,
5、BC=CD=2,AA=2,E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。EABCFE1A1B1C1D1D（1）证明：直线EE//平面FCC；（2）求二面角B-FC-C的余弦值。（1）证明略（2）解：解法一过点做的垂线垂足为点，过点做的垂线垂足为点。则<，>的值即为二面角B-FC-C的平面角的值。因为AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,因为ABCD为等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标
6、系则F(，1，0)，B(,3,0),C(0,2,0),(0,2,2)=(,1,2)设==(-,,)则P(-,+1,),=(,2-,-2)=-3+2--4=0==(,,-)，=同理可得=（-，，-1），=,=1，cos<,>==所以二面角B-FC-C的余弦值为（不用判断二面角是锐角还是钝角，但此种方法需有二面角的棱）EABCFE1A1B1C1D1DxyzM解法二：因为AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,因为ABCD为等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,连接DM,则DM⊥AB
7、,所以DM⊥CD,以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,则D（0,0,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,(0,2,2)所以,设平面CC1F的法向量为则所以取,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则,,,所以由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为.（和属于方二中四种情况中的第一种）
