高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算1学案含解析

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1、第一课时　几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则基本初等函数的导数公式已知函数：(1)y＝f(x)＝c；(2)y＝f(x)＝x；(3)y＝f(x)＝x2；(4)y＝f(x)＝；(5)y＝f(x)＝.问题1：函数y＝f(x)＝c的导数是什么？提示：∵＝＝＝0，∴y′＝li＝0.问题2：函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？提示：由导数的定义得(2)(x)′＝1，(3)(x2)′＝2x，(4)′＝－，(5)()′＝.问题3：若(1)(2)中的函数表示路程关于时间的函数，则其导数的意义是什么？提

2、示：y′＝0说明某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态；y′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．问题4：函数(2)(3)(5)均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？提示：∵(2)(x)′＝1·x1－1，(3)(x2)′＝2·x2－1，(5)()′＝(x)′＝x＝，∴(xα)′＝αxα－1.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_

3、x12f(x)＝axf′(x)＝axln__af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝对公式(logax)′＝与(ax)′＝axlna的理解和记忆(1)区分公式的结构特征，从纵的方面“(lnx)′与(logax)′”和“(ex)′与(ax)′”的区分，又要从横的方面“(logax)′与(ax)′”的区分找出差异，记忆公式．(2)对公式(logax)′，用(lnx)′和复合函数求导法则证明来帮助记忆，即求证对数函数导数公式(logax)′＝logae.证明如下：(log

4、ax)′＝′＝·＝logae.这样就能知道logae的来历，对于记忆和区分很有必要.导数运算法则已知f(x)＝x，g(x)＝.问题1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？提示：f′(x)＝1，g′(x)＝－.问题2：试求Q(x)＝x＋，H(x)＝x－的导数．提示：∵Δy＝(x＋Δx)＋－＝Δx＋，∴＝1－，∴Q′(x)＝＝＝1－.同理H′(x)＝1＋.问题3：Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？12提示：Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数

5、的差．问题4：′＝f′(x)g′(x)对吗？提示：不对，因为f(x)g(x)＝1，′＝0，而f′(x)g′(x)＝1×＝－.导数运算法则1．′＝f′(x)±g′(x)；2．′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；3.′＝(g(x)≠0)．导数的运算法则的认识1．在两个函数积与商的导数运算中，不能认为′＝f′(x)g′(x)以及′＝.2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．3．(1)′＝f1′(x)＋f2′(x)＋…＋fn′(x)；(2)′＝cf′(

6、x)，也就是说，常数与函数的积的导数等于常数乘函数的导数．利用导数公式直接求导　求下列函数的导数：(1)y＝10x；(2)y＝lgx；(3)y＝logx；(4)y＝；(5)y＝2－1.　(1)y′＝(10x)′＝10xln10；(2)y′＝(lgx)′＝；(3)y′＝(logx)′＝＝－；12(4)y′＝()′＝(x)′＝x－＝；(5)∵y＝2－1＝sin2＋2sincos＋cos2－1＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.应用求导公式应注意的问题求函数的导数，一般不再用定义，而主要应用导数公式，这就要求必须

7、熟记常见的求导公式，应用公式时一般遵循“先化简，再求导”的基本原则．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．求下列函数的导数：(1)y＝x；(2)y＝x；(3)y＝lg5；(4)y＝3lg；(5)y＝2cos2－1.解：(1)y′＝′＝xln＝－＝－e－x；(2)y′＝′＝xln＝＝－10－xln10；(3)∵y＝lg5是常数函数，∴y′＝(lg5)′＝0；(4)∵y＝3lg＝lgx，∴y′＝(lgx)′＝；(5)∵y＝2cos2－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.利用导数的运算法

8、则求函数的导数　求下列函数的导数：12(1)y＝x3·ex；(2)y＝x－sincos；(3)y＝x2＋log3x；(4)y＝.　(1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex.(2)∵y＝x－sinx，∴y′＝x′－(sinx)′＝1－cosx.(3)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x