高中数学 导数及其应用1.2导数的计算第3课时简单复合函数的导数学案

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1、第3课时　简单复合函数的导数学习目标　1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．知识点　复合函数的概念及求导法则已知函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．思考　这两个函数有什么共同特征？答案　函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)都是由两个基本函数复合而成的．梳理复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数

2、，记作y＝f(g(x)).复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.1．函数y＝e－x的导数为y′＝e－x.(　×　)2．函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cosx．(　×　)3．函数y＝cos(3x＋1)由函数y＝cosu，u＝3x＋1复合而成．(　√　)类型一　求复合函数的导数例1　求下列函数的导数．(1)y＝；(2)y＝log2(2x＋1)；(3)y＝ecosx＋1；(4)y＝sin2.考点　简单复合函数

3、的导数题点　简单复合函数的导数解　(1)y＝，设y＝，u＝1－2x2，则y′＝()′(1－2x2)′＝·(－4x)＝－·(－4x)＝2x.(2)设y＝log2u，u＝2x＋1，则yx′＝yu′·ux′＝＝.(3)设y＝eu，u＝cosx＋1，则yx′＝yu′·ux′＝eu·(－sinx)＝－ecosx＋1sinx.(4)y＝对于t＝cos，设u＝4x＋，则t＝cosu，tu′ux′＝－4sinu＝－4sin.∴y′＝2sin.反思与感悟　(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求

4、导；③计算结果尽量简洁．跟踪训练1　求下列函数的导数．(1)y＝(x2－4)2；(2)y＝ln(6x＋4)；(3)y＝103x－2；(4)y＝；(5)y＝sin；(6)y＝cos2x.考点　简单复合函数的导数题点　简单复合函数的导数解　(1)y′＝2(x2－4)(x2－4)′＝2(x2－4)·2x＝4x3－16x.(2)y′＝·(6x＋4)′＝.(3)y′＝(103x－2ln10)·(3x－2)′＝3×103x－2ln10.(4)y′＝·(2x－1)′＝.(5)y′＝cos·′＝3cos.(6)y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－

5、sin2x.例2　求下列函数的导数．(1)y＝；(2)y＝x；(3)y＝xcossin.考点　简单复合函数的导数题点　简单复合函数的导数解　(1)∵(ln3x)′＝×(3x)′＝，∴y′＝＝＝.(2)y′＝(x)′＝x′＋x()′＝＋＝.(3)∵y＝xcossin＝x(－sin2x)cos2x＝－xsin4x，∴y′＝′＝－sin4x－cos4x·4＝－sin4x－2xcos4x.反思与感悟　(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的

6、目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外及内逐层求导．跟踪训练2　求下列函数的导数．(1)y＝sin3x＋sinx3；(2)y＝xln(1＋2x)．考点　简单复合函数的导数题点　简单复合函数的导数解　(1)y′＝(sin3x＋sinx3)′＝(sin3x)′＋(sinx3)′＝3sin2xcosx＋cosx3·3x2＝3sin2xcosx＋3x2cosx3.(2)y′＝x′ln(1＋2x)＋x[ln(1＋2x)]′＝ln(1＋2x)＋.类型二　复合函数导数的应用例3　设f(x)＝ln(x＋1)＋＋

7、ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切，求a，b的值．考点　简单复合函数的导数题点　简单复合函数的导数的综合应用解　由曲线y＝f(x)过(0,0)点，可得ln1＋1＋b＝0，故b＝－1.由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b，得f′(x)＝＋＋a，则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得＋a＝，故a＝0.反思与感悟　复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切

8、点是解决问题的关键．跟踪训练3　曲线y＝esinx在点(0,1)处的切线与直线l