高中数学 导数及其应用1.2导数的计算第2课时导数的运算法则学案

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1、第2课时　导数的运算法则学习目标　1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点一　和、差的导数已知f(x)＝x，g(x)＝.Q(x)＝f(x)＋g(x)，H(x)＝f(x)－g(x)思考1　f(x)，g(x)的导数分别是什么？答案　f′(x)＝1，g′(x)＝－.思考2　试求y＝Q(x)，y＝H(x)的导数．并观察Q′(x)，H′(x)与f′(x)，g′(x)的关系．答案　∵Δy＝(x＋Δx)＋－＝Δx＋，∴＝1－.∴Q′(x)＝＝＝1－.同理，H′(x)＝1＋.Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和．

2、H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差．梳理　和、差的导数[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．知识点二　积、商的导数(1)积的导数①[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．②[cf(x)]′＝cf′(x)．(2)商的导数′＝(g(x)≠0)．(3)注意[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，′≠.1．若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　×　)2．函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．(　√　)3．当g(x)≠0时，′＝.(　√　)类型一　利用导数的运算法则求导例1　求下列函数的导数．(1)y＝3x2＋xcosx

3、；(2)y＝lgx－；(3)y＝(x2＋3)(ex＋lnx)；(4)y＝x2＋tanx；(5)y＝.考点　导数的运算法则题点　导数的运算法则解　(1)y′＝6x＋cosx＋x(cosx)′＝6x＋cosx－xsinx.(2)y′＝(lgx)′－(x－2)′＝＋.(3)y′＝(x2＋3)′(ex＋lnx)＋(x2＋3)(ex＋lnx)′＝2x(ex＋lnx)＋(x2＋3)＝ex(x2＋2x＋3)＋2xlnx＋x＋.(4)因为y＝x2＋，所以y′＝(x2)′＋′＝2x＋＝2x＋.(5)y′＝＝＝.反思与感悟　(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2

4、)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．跟踪训练1　求下列函数的导数．(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)．考点　导数的运算法则题点　导数的运算法则解　(1)∵y＝2－3＋x－1＋，∴y′＝3＋－x－2－.(2)方法一　y′＝＝＝.方法二　∵y＝＝＝1－，∴y′＝′＝′＝＝.(3)方法一　y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23.方法二　∵

5、y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5)＝x3＋9x2＋23x＋15，∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.类型二　导数公式及运算法则的综合应用例2　(1)已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；(2)设f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcosx.考点　导数的运算法则题点　导数运算法则的综合应用解　(1)由题意得f′(x)＝＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，即f′(1)＝－1.∴f(x)＝－2x.∴f(e)＝－2e＝－2e

6、，f(1)＝－2，由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，得f(e)

7、待定系数法可确定a，b，c，d的值．完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则．跟踪训练2　函数f(x)＝＋2f′(1)x，则f′(0)＝________.考点　导数的运算法则题点　导数运算法则的综合应用答案　1解析　对f(x)求导，得f′(x)＝＋2f′(1)＝＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝1，∴f′(0)＝1.例3　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数为f′(x)＝2x－8.(1)求a，b的值；