高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算第2课时导数的运算法则学案含解析新人教A版

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1、第2课时　导数的运算法则学习目标　1.了解求导法则的证明过程.2.掌握函数的和、差、积、商的求导法则.3.能够运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点一　函数和、差的导数已知f(x)＝x，g(x)＝.思考1　f(x)，g(x)的导数分别是什么？答案　f′(x)＝1，g′(x)＝－.思考2　若h(x)＝f(x)＋g(x)，I(x)＝f(x)－g(x)，那么h′(x)，I′(x)分别与f′(x)，g′(x)有什么关系？答案　∵Δy＝(x＋Δx)＋－＝Δx＋，∴＝1－.∴h′(x)＝＝＝1－.同理，I′(x)＝1＋.梳理　和

2、、差的导数[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．特别提醒：(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．(2)[c(x)]′＝cf′(x)．(3)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．知识点二　函数积、商的导数1．函数积的导数[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．2．函数商的导数′＝(g(x)≠0)．1．f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　×　)2．f(x)＝，则f′(x)＝.(　×　)3．函数f(x)＝sin(－x)

3、的导数为f′(x)＝cosx．(　×　)类型一　利用导数四则运算法则求导例1　求下列函数的导数．(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)；(4)y＝xsinx－.考点　导数的运算法则题点　导数乘除法则的混合运用解　(1)∵y＝－＋x－1＋，∴y′＝＋－x－2－.(2)方法一　y′＝＝＝.方法二　y＝＝＝1－，y′＝′＝′＝＝.(3)方法一　y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(

4、2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23.方法二　∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5)＝x3＋9x2＋23x＋15，∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.(4)y′＝(xsinx)′－′＝x′sinx＋x(sinx)′－＝sinx＋xcosx－.反思与感悟　(1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导

5、．这样可以减少运算量，优化解题过程．(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1　求下列函数的导数．(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝cosxlnx；(3)y＝.考点　导数的运算法则题点　导数乘除法则的混合运用解　(1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.(2)y′＝(cosxlnx)′＝(cosx)′lnx＋cosx(lnx)′＝－sinxlnx＋.(3)y′＝＝＝＝.类型二　导数运算法则的综合应用例2　(1)已知函数

6、f(x)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；(2)设f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcosx.考点　导数的应用题点　导数的应用解　(1)由题意得f′(x)＝＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，即f′(1)＝－1.所以f(x)＝－2x，得f(e)＝－2e＝－2e，f(1)＝－2，由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，得f(e)

7、)sinx]′＋[(cx＋d)cosx]′＝(ax＋b)′sinx＋(ax＋b)(sinx)′＋(cx＋d)′cosx＋(cx＋d)(cosx)′＝asinx＋(ax＋b)cosx＋ccosx－(cx＋d)sinx＝(a－cx－d)sinx＋(ax＋b＋c)cosx.又∵f′(x)＝xcosx，∴即解得a＝d＝1，b＝c＝0.反思与感悟　解决此类题目的前提是熟练应用导数的运算法则．跟踪训练2　已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3lnx，则f′(1)等于(　　)A．－3B．2eC.D.考点

8、　导数的应用题点　导数的应用答案　D解析　∵f′(x)＝2exf′(1)＋，令x＝1，得f′(1)＝2ef′(1)＋3，∴f′(1)＝.例3　(1)设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.考点　导数的应用题点　导数的应用(2)若曲线y＝xlnx上点P处的切