高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算学案（含解析）新人教A版选修.doc

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1、3.2导数的计算基本初等函数的导数[提出问题]已知函数：(1)y＝f(x)＝c，(2)y＝f(x)＝x，(3)y＝f(x)＝x2，(4)y＝f(x)＝，(5)y＝f(x)＝.问题1：函数y＝f(x)＝c的导数是什么？提示：∵＝＝＝0，∴y′＝＝0.问题2：函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？提示：由导数的定义得：(x)′＝1，(x2)′＝2x，′＝－，()′＝.问题3：函数(2)(3)(5)均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？提示：∵(x)′＝1·x1－1，(x2)′＝2·x2－1，()′＝(x)′＝x＝，∴(

2、xα)′＝αxα－1.[导入新知]基本初等函数的导数公式原函数导函数①f(x)＝cf′(x)＝0②f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1③f(x)＝sinxf′(x)＝cos_x④f(x)＝cosxf′(x)＝－sin_x⑤f(x)＝axf′(x)＝axln__a(a＞0)⑥f(x)＝exf′(x)＝ex⑦f(x)＝logaxf′(x)＝(a＞0，且a≠1)⑧f(x)＝lnxf′(x)＝[化解疑难]理解公式时要注意的五点：(1)对于幂函数型函数的导数，x为自变量，α为常数，可推广到α∈R也成立；(2)对于正、余弦函数的导数，关键

3、是符号，余弦函数的导数是正弦函数前加一负号，而正弦函数的导数是余弦函数；(3)注意指数函数、对数函数导数公式中字母a的范围；(4)公式⑥是公式⑤的特例，公式⑧是公式⑦的特例；(5)要重视公式⑤和⑦，对指数和对数的运算要准确．导数的运算法则[提出问题]已知f(x)＝x，g(x)＝.问题1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？提示：f′(x)＝1，g′(x)＝－.问题2：试求Q(x)＝x＋，H(x)＝x－的导数．提示：∵Δy＝(x＋Δx)＋－＝Δx＋，∴＝1－，∴Q′(x)＝＝＝1－.同理H′(x)＝1＋.问题3：Q(x)，H(x)的导数与f

4、(x)，g(x)的导数有何关系？提示：Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的差．问题4：[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)对吗？提示：不对，因为f(x)g(x)＝1，[f(x)g(x)]′＝0，而f′(x)·g′(x)＝1×＝－.[导入新知]导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)；(4)[cf(x)]′＝cf′(x)．[化解疑难]导数的运算法则的认

5、识1．在两个函数积与商的导数运算中，不能认为[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及′＝.2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．3．(1)[f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)]′＝f1′(x)＋f2′(x)＋…＋fn′(x)；(2)[cf(x)]′＝cf′(x)，也就是说，常数与函数的积的导数等于常数乘函数的导数．利用导数公式求函数的导数[例1]　求下列函数的导数：(1)y＝x20；(2)y＝；(3)y＝sin；(4)y＝log6x；(5)y＝.[解]　(

6、1)y′＝(x20)′＝20x20－1＝20x19.(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5.(3)y′＝′＝′＝0.(4)y′＝(log6x)′＝.(5)y′＝′＝(x)′＝－x＝－x.[类题通法]求简单函数的导函数有两种基本方法(1)用导数的定义求导，运算比较繁杂．(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．[活学活用]求下列函数的导数：(1)y＝x6；(2)y＝log7x；(3)y＝x2.解：(1)y′＝(x6)′＝6x5.(2)y′＝(

7、log7x)′＝.(3)y′＝(x2)′＝(x2·x)′＝(x)′＝x.求导公式及导数运算法则[例2]　求下列函数的导数：(1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；(3)y＝；(4)y＝x3·ex；(5)y＝x2＋log3x.[解]　(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′＝5x4－9x2－10x.(2)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9.法二：∵y＝(2x2＋3)(

8、3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，∴y′＝18x2－8x＋9.(3)法一：y′＝′＝＝＝.法二：∵y＝＝＝1－，∴y′＝′＝′＝－＝.(4)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex