高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数学案（含解析）新人教A版选修.doc

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1、3．3.2　函数的极值与导数[提出问题]如图是函数y＝f(x)的图象．问题1：y＝f(x)在x＝a处的导数f′(a)等于多少？提示：f′(a)＝0.问题2：当x＝a时，f(x)取最大值吗？提示：不是，但f(a)比x＝a附近的函数值都大．问题3：在x＝a附近两侧导数f′(x)的符号有什么特点？提示：在x＝a附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.问题4：当x＝d时，请回答以上问题．提示：①f′(d)＝0；②不是，但f(d)比x＝d附近的函数值都小；③在x＝d附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.[导入新知]1．极值点与

2、极值(1)极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值

3、点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为函数的极值．2．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．[化解疑难]1．对极值概念的理解(1)函数的极值是一个局部概念，是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大的或是最小的．(2)在定义域的某个区间内极大值或极小值并不唯一，也可能极值不存在，并且极大值与极小值之间无确定的大小关

4、系．2．极值与极值点辨析(1)函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标，而不是点；极值是函数在极值点处取得的函数值，即函数取得极值时对应点的纵坐标．(2)极值点一定在区间的内部，端点不可能为极值点．利用导数求函数的极值[例1]　求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝.[解]　(1)f′(x)＝x2－2x－3.令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增单调递减

5、－6单调递增故当x＝－1时，函数取得极大值，且极大值为f(－1)＝；当x＝3时，函数取得极小值，且极小值为f(3)＝－6.(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.令f′(x)＝0，得x＝e.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)单调递增单调递减　　故当x＝e时，函数取得极大值，且极大值为f(e)＝.无极小值．[类题通法](1)求函数极值的步骤：①求方程f′(x)＝0在函数定义域内的所有根；②用f′(x)＝0的根将定义域分成若干小区间，列表

6、；③由f′(x)在各个小区间内的符号，判断f′(x)＝0的根处的极值情况．(2)表格给出了当x变化时y′，y的变化情况，表格直观清楚，容易看出具体的变化情况，并且能判断出是极大值还是极小值，最后得出函数的极大值、极小值．[活学活用]求下列函数的极值：(1)f(x)＝－x3＋12x＋6；(2)f(x)＝－2.解：(1)f′(x)＝－3x2＋12＝－3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－

7、f(x)单调递减－10单调递增22单调递减当x＝－2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(－2)＝－10；当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝22.(2)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝＝－.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)单调递减－3单调递增－1单调递减　　由上表可以看出，当x＝－1时，函数取极小值－3；当x＝1时，函数取极大值－1.已知函数极值求参数　　[例2]

8、　已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处的极小值为－1，试确定a，b的值，并求f(x)的单调区间．[解]　由已知f′(x)＝3x2－6ax＋2b，∴f′(1)＝3－6a＋2b＝0.①又∵f(1)＝1－3a＋2b＝－1，②由①②解得a＝，b＝－，∴f(x)＝x3－