高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算教学案 新人教A版选修.doc

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1、3.2导数的计算[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P81～P85的内容，回答下列问题．已知函数：①y＝f(x)＝c，②y＝f(x)＝x，③y＝f(x)＝x2，④y＝f(x)＝，⑤y＝f(x)＝.(1)函数y＝f(x)＝c的导数是什么？提示：∵＝＝＝0，(2)函数②③④⑤的导数分别是什么？提示：由导数的定义得：(x)′＝1，(x2)′＝2x，′＝－，()′＝.(3)函数②③⑤均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？提示：∵(x)′＝1·x1－1，(x2)′＝2·x2－1，

2、()′＝′＝x－1＝，∴(xα)′＝αxα－1．2．归纳总结，核心必记(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝α·xα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_a(a＞0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝(a＞0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝(2)导数运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；②

3、[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；当g(x)＝c时，[cf(x)]′＝cf′(x)．③′＝(g(x)≠0)．[问题思考](1)常数函数的导数为0说明什么？提示：说明常数函数f(x)＝c图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行(或重合)于x轴．(2)对于公式“若f(x)＝xα(α∈Q*)，则f′(x)＝αxα－1”，若把“α∈Q*”改为“α∈R”，公式是否仍然成立？提示：当α∈R时，f′(x)＝αxα－1仍然成立．(3)下面的计算过程正确吗？′＝cos＝.提示

4、：不正确．因为sin＝是一个常数，而常数的导数为零，所以′＝0．(4)若f(x)，g(x)都是可导函数，且f(x)≠0，那么下列关系式成立吗？①[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(a，b为常数)；②′＝－.提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确．[课前反思](1)基本初等函数的导数公式有哪些？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；(2)导数的运算法则有哪些？其适用条件是

5、什么？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．[思考]　你能说出函数f(x)＝c与f(x)＝xα、f(x)＝sinx与f(x)＝cosx、f(x)＝ax与f(x)＝ex、f(x)＝logax与f(x)＝lnx的导数公式有什么特点和联系吗？名师指津：(1)幂函数f(x)＝xα中的α可以由Q*推广到任意实数．(2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”．(3)指数函数的导数等于指数函数

6、本身乘以底数的自然对数，(ex)′＝ex是(ax)′＝axlna的特例．(4)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数，(lnx)′＝是(logax)′＝的特例．讲一讲1．求下列函数的导数：(1)y＝10x；(2)y＝lgx；(3)y＝logx；(4)y＝；(5)y＝－1.[尝试解答]　(1)y′＝(10x)′＝10xln10.(2)y′＝(lgx)′＝.(3)y′＝(logx)′＝＝－.(4)y′＝()′＝(x)′＝x－＝.(5)∵y＝－1＝sin2＋2sincos＋cos2－1＝sinx，∴y

7、′＝(sinx)′＝cosx.(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．(2)若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．练一练1．求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝lg5；(4)y＝3lg；(5)y＝2cos2－1.解：(1)y′＝′＝ln＝－＝－e－x.(2)y′＝′＝ln＝＝－10－xln10.(3)∵y＝lg5是常数函数，∴y′＝(lg5)′＝0.(4)∵y＝3lg＝lgx，∴y′＝(

8、lgx)′＝.(5)∵y＝2cos2－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.讲一讲2．(链接教材P84－例2)求下列函数的导数：(1)y＝x3·ex；(2)y＝x－sincos；(3)y＝x2＋log3x;(4)y＝.[尝试解答]　(1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex.(2)∵y＝x－sinx，∴y′＝x′－(sinx)′＝1－cosx.(3)y′＝(x2＋log3