高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的运算 3.2.2 导数公式表学案 新人教b版选修1-1

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1、3.2.2　导数公式表1．能根据导数的定义，求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝的导数．2．会使用导数公式表．1．常数函数的导数设y＝f(x)＝C(C为常数)，则C′＝______.C′＝0表示函数y＝C的图象上每一点处的切线的斜率为0.若y＝C表示路程关于时间的函数，则y′＝0可解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．【做一做1】函数y＝sin的导数为__________．2．几种特殊的幂函数的导数(1)函数y＝x的导数：x′＝______.(2)函数y＝x2的导数：(x2)′＝______.(3)函数y＝的导数：′＝______.此式也可写成′＝(

2、x－1)′＝－x－2.记住几种特殊幂函数的求导公式，我们就可以直接求一些简单函数的导数了．【做一做2】函数y＝x2在x＝6处的导数为__________．3．基本初等函数的导数公式(1)C′＝0(C为常数)．(2)(xn)′＝nxn－1(n为自然数)；(xμ)′＝μxμ－1(μ为有理数，且μ≠0，x＞0)．(3)(ax)′＝axlna(a＞0，a≠1)；(ex)′＝ex.(4)(logax)′＝(a＞0，a≠1，x＞0)；(lnx)′＝(x＞0)．(5)(sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx.(1)xn(n为自然数)与xμ(μ为有理数，μ≠0，x＞0

3、)可以归为一类函数来记忆导数公式．只是要注意n为负数时的运算技巧，先变形，再求导．(2)logax与lnx以及ax等求导公式较难记忆，可以相互间作比较，如lnx＝logex，则(lnx)′＝＝；logax求导，只需把上式e换为a.(3)指数函数y＝ax与对数函数求导易出错，比如，y＝2x与y＝x2求导，可专门记忆y＝ax的求导公式．(2x)′＝2xln2，(x2)′＝2x.【做一做3】求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝4x.基本初等函数包括常值函数y＝C，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)，幂函数y＝xα(

4、α∈R)，三角函数等．1．函数y＝f(x)＝x的导数的意义是什么？剖析：y′＝1表示函数y＝x的图象上每一点处的切线的斜率都为1.若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动．2．如何理解函数y＝f(x)＝x2的导数？剖析：y′＝2x表示函数y＝x2图象上点(x，y)处切线的斜率，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化，另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，y′＝2x表明：当x＜0时，随着x的增加，函数y＝x2减少得越来越慢；当x＞0时，随着x的增加，函数y＝x2增加得越来越快．若y＝x2表示路程关于时间的函数，则y′

5、＝2x可以解释为某物体作变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.题型一利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝3x；(4)y＝log2x.分析：对于基本初等函数的求导，直接利用导数公式求导．但要注意把所给函数的关系式转化成能够直接应用公式的基本函数的形式，以免在求导时发生不必要的错误．反思：基本初等函数求导的关键：①熟记导数公式表；②根式、分式求导时，先将其转化为指数式的形式．题型二导数公式的应用【例2】求曲线y＝sinx在点P处的切线方程．分析：利用导数公式求出该点处的导数，即切线的斜率，再由点斜式写出切线方程即可．【例

6、3】(志鸿原创)已知点P(e，a)在曲线f(x)＝lnx上，直线l是以点P为切点的切线，求过点P且与直线l垂直的直线的方程．(字母e是一个无理数，是自然对数的底数)分析：因所求直线与直线l垂直，故其斜率乘积为－1.可利用导数公式求出直线l的斜率k，从而可得所求直线的斜率；点P在曲线上可求得a，然后利用点斜式写出所求直线的方程．反思：求以曲线上的点为切点的切线方程的方法和步骤：(1)求切点处的导数即为切线的斜率；(2)由直线方程的点斜式写出切线方程．1函数y＝cos的导数为__________．2函数y＝的导数为__________．3函数y＝log3x在x＝1处的

7、导数为__________．4以曲线y＝ex上的点P(0,1)为切点的切线方程为__________．5已知直线l与直线3x－y＋2＝0平行，且与曲线y＝x3相切，求直线l的方程．答案：基础知识·梳理1．0【做一做1】02．(1)1　(2)2x　(3)－【做一做2】12【做一做3】解：(1)y′＝－：(2)y′＝4xln4.典型例题·领悟【例1】解：(1)y′＝′＝(x－5)′＝－5x－6＝－；(2)y′＝()′＝＝＝；(3)y′＝3xln3；(4)y′＝.【例2】解：∵y′＝(sinx)′＝cosx，∴.∴所求直线方程为y－1＝0，即y＝1.【例3】解：∵f′(

8、x)＝，∴