高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教a版选修1-1

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1、3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标]1．能利用导数的四则运算法则求解导函数．2．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．[目标解读]1．重点是利用导数的四则运算法则求导．2．难点是导数公式的综合应用及复合函数的求导．[情景引入]空气清新可人，水面上的叶子苍翠无比，池塘里的水也绿绿的，偶尔还能见几条小鱼儿自由自在地游来游去．微风过处，池塘水面上泛起粼粼微波，一排接着一排涌向池边，回击在池中，形成回环的波浪．我沉醉了，是啊！基本的是简单的美，复合的是深沉的美，生活如此，我们的学习又何尝不是呢？复合函数作为一个重要的知识点，它的导数如何求呢？

2、提示：复合函数的求导建立在基本初等函数求导公式基础上，应用复合函数的求导公式求解．[新知探究]1．复合函数的求导(1)复合函数的概念对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作y＝f(g(x))．(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系：yx′＝.问题探究2：若复合函数y＝f(g(x))由函数y＝f(u)，u＝g(x)复合而成，则函数y＝f(u)，u＝g(x)的定义域、值域满足什么关系？提示：在复合函数中，内层函数u＝g(x)的值域必须是外层函数y＝f(u)的定义

3、域的子集．【例题讲解】例1求下列函数的导数．(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；(3)y＝；(4)y＝；(5)y＝sin4＋cos4.【思路启迪】　①②③④结合常见函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导；⑤先化简，再求导．【解】　(1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex.(3)y′＝()′＝＝＝－.(4)y′＝()′＝＝＝.(5)∵y＝(sin2＋cos2)2－2sin2·cos2＝1－sin2＝1－×＝＋cosx，∴y′＝(＋c

4、osx)′＝－sinx.点评：此类问题出错的主要因素一般有二：一是基本初等函数的导数公式记忆有误；二是求导法则掌握不到位，尤其是对于积与商的求导法则中的符号问题出现混淆，导致运算结果出现错误．对于复杂函数求导，一般遵循先化简再求导的原则，但要注意化简过程中变换的等价性．例2求下列函数的导数：(1)f(x)＝(－2x＋1)2；(2)f(x)＝ln(4x－1)；(3)f(x)＝23x＋2；(4)f(x)＝；(5)f(x)＝sin(3x＋)；(6)f(x)＝cos2x.【思路启迪】　抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，

5、再运用复合函数求导法则．【解】　(1)设y＝u2，u＝－2x＋1，则y′＝yu′·ux′＝2u·(－2)＝－4(－2x＋1)＝8x－4.(2)设y＝lnu，u＝4x－1，则y′＝yu′·ux′＝·4＝.(3)设y＝2u，u＝3x＋2，则y′＝yu′·ux′＝2uln2·3＝3ln2·23x＋2.(4)设y＝，u＝5x＋4，则y′＝yu′·ux′＝·5＝.(5)设y＝sinu，u＝3x＋，则y′＝yu′·ux′＝cosu·3＝3cos(3x＋)．(6)方法一：设y＝u2，u＝cosx，则y′＝yu′·ux′＝2u·(－sinx)＝－2cosx·sinx＝－sin2x；方法

6、二：∵f(x)＝cos2x＝＝＋cos2x，所以f′(x)＝(＋cos2x)′＝0＋·(－sin2x)·2＝－sin2x.点评：求复合函数的导数需处理好以下环节：(1)中间变量的选择应是基本函数结构；(2)关键是正确分析函数的复合层次；(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；(4)善于把一部分表达式作为一个整体；(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．例3已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2(k≥0)．当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．【思路启迪】　利用复合函数的求导法则和导数的几何意义求解．【解】　当k＝2时，f(x)＝l

7、n(1＋x)－x＋x2，f′(x)＝－1＋2x.由于f(1)＝ln2，f′(1)＝，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－ln2＝(x－1)，即3x－2y＋2ln2－3＝0.(1)利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法，它适用于任何可导函数，是高考的热点．(2)求曲线的切线方程时，一定要注意已知点是否为切点．若切点没有给出，一般是先把切点设出来，并求出切点，再求切线方程．例4函数y＝x·e1－2x的导数为________．【解】　y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x