全国通用版2018-2019版高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算第2课时导数的运算法则学案新人教A版选修2

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1、第2课时 导数的运算法则学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程,能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.知识点一 和、差的导数已知f(x)=x,g(x)=.Q(x)=f(x)+g(x),H(x)=f(x)-g(x)思考1 f(x),g(x)的导数分别是什么?答案 f′(x)=1,g′(x)=-.思考2 试求y=Q(x),y=H(x)的导数.并观察Q′(x),H′(x)与f′(x),g′(x)的关系.答案 ∵Δy=(x+Δx)+-=Δx+,∴=1-.∴

2、Q′(x)===1-.同理,H′(x)=1+.Q(x)的导数等于f(x),g(x)的导数的和.H(x)的导数等于f(x),g(x)的导数的差.梳理 和、差的导数[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x).知识点二 积、商的导数(1)积的导数①[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).②[cf(x)]′=cf′(x).(2)商的导数′=(g(x)≠0).(3)注意[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x),′≠.1.若f′(x)=2x,则f(x)=x2.( × )2

3、.函数f(x)=xex的导数是f′(x)=ex(x+1).( √ )3.当g(x)≠0时,′=.( √ )类型一 利用导数的运算法则求导例1 求下列函数的导数.(1)y=3x2+xcosx;(2)y=lgx-;(3)y=(x2+3)(ex+lnx);(4)y=x2+tanx;(5)y=.考点 导数的运算法则题点 导数的运算法则解 (1)y′=6x+cosx+x(cosx)′=6x+cosx-xsinx.(2)y′=(lgx)′-(x-2)′=+.(3)y′=(x2+3)′(ex+lnx)+(x2

4、+3)(ex+lnx)′=2x(ex+lnx)+(x2+3)=ex(x2+2x+3)+2xlnx+x+.(4)因为y=x2+,所以y′=(x2)′+′=2x+=2x+.(5)y′===.反思与感悟 (1)先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商,再根据导数的运算法则求导数.(2)对于三个以上函数的积、商的导数,依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.跟踪训练1 求下列函数的导数.(1)y=;(2)y=;(3)y=(x+1)(x+3)(x+5).考点 导数的运算法则题点 导数的运算法则解 (

5、1)∵y=2-3+x-1+,∴y′=3+-x-2-.(2)方法一 y′===.方法二 ∵y===1-,∴y′=′=′==.(3)方法一 y′=[(x+1)(x+3)]′(x+5)+(x+1)(x+3)(x+5)′=[(x+1)′(x+3)+(x+1)(x+3)′](x+5)+(x+1)(x+3)=(2x+4)(x+5)+(x+1)(x+3)=3x2+18x+23.方法二 ∵y=(x+1)(x+3)(x+5)=(x2+4x+3)(x+5)=x3+9x2+23x+15,∴y′=(x3+9x2+23x

6、+15)′=3x2+18x+23.类型二 导数公式及运算法则的综合应用例2 (1)已知函数f(x)=+2xf′(1),试比较f(e)与f(1)的大小关系;(2)设f(x)=(ax+b)sinx+(cx+d)cosx,试确定常数a,b,c,d,使得f′(x)=xcosx.考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用解 (1)由题意得f′(x)=+2f′(1),令x=1,得f′(1)=+2f′(1),即f′(1)=-1.∴f(x)=-2x.∴f(e)=-2e=-2e,f(1)=-2,由f(e)-

7、f(1)=-2e+2<0,得f(e)

8、的解析式,需要求出f′(1),注意f′(1)是常数.(2)中利用待定系数法可确定a,b,c,d的值.完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则.跟踪训练2 函数f(x)=+2f′(1)x,则f′(0)=________.考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用答案 1解析 对f(x)求导,得f′(x)=+2f′(1)=+2f′(1),令x=1,得f′(1)=1,∴f′(0)=1.例3 已知函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其导函数为f′(x)=2x-8.(1)求a,b的值;

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