高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算2学案含解析

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1、第二课时　复合函数求导及应用复合函数已知y＝(3x＋2)2，y＝sin.问题1：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数．问题2：试说明y＝(3x＋2)2是如何复合的．提示：令u＝g(x)＝3x＋2，y＝f(u)＝u2，则y＝f(u)＝f(g(x))＝(3x＋2)2.问题3：试求y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，g(x)＝3x＋2的导数．提示：y′＝(9x2＋12x＋4)′＝18x＋12，f′(u)＝2u，g′(x)＝3.问题4：观察问题3中的导数有何关系．提示：y′＝′＝f′(u)·g′(x)．1．复合函数的概念对于两个函数y＝f(u

2、)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．对复合函数概念的理解(1)在复合函数中，内层函数的值域必须是外层函数定义域的子集．(2)对于复合函数，中间变量应该选择基本初等函数．判断一个函数是基本初等函数的标准是：运用求导公式可直接求导．简单的复合函数求导问题　求下列函数的

3、导数：(1)y＝；(2)y＝esinx；(3)y＝sin；(4)y＝5log2(2x＋1)．10　(1)设y＝u，u＝1－2x2，则y′＝(u)′(1－2x2)′＝·(－4x)＝(1－2x2)(－4x)＝.(2)设y＝eu，u＝sinx，则yx′＝yu′·ux′＝eu·cosx＝esinxcosx.(3)设y＝sinu，u＝2x＋，则yx′＝yu′·ux′＝cosu·2＝2cos.(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，则y′＝5(log2u)u′(2x＋1)x′＝＝.复合函数的求导步骤求下列函数的导数：(1)y＝(2x－1)4；(2)y

4、＝102x＋3；(3)y＝sin4x＋cos4x.解：(1)令u＝2x－1，则y＝u4，∴y′x＝y′u·u′x＝4u3·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.(2)令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln10·(2x＋3)′＝2ln10·102x＋3.(3)y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x·cos2x10＝1－sin22x＝1－(1－cos4x)＝＋cos4x.所以y′＝′＝－sin4x.复合函数与导数的运算法则的综合应用　求下列函数的导数：(1)y＝x；(2)y

5、＝xcossin.　(1)y′＝(x)′＝x′＋x()′＝＋＝.(2)∵y＝xcossin＝x(－sin2x)cos2x＝－xsin4x，∴y′＝′＝－sin4x－cos4x·4＝－sin4x－2xcos4x.复合函数求导应注意的问题(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．求下列函数的导数：10(

6、1)y＝sin2；(2)y＝sin3x＋sinx3；(3)y＝xln(1＋2x)．解：(1)y′＝′＝2sin·′＝2sin·cos·′＝sin.(2)y′＝(sin3x＋sinx3)′＝(sin3x)′＋(sinx3)′＝3sin2xcosx＋cosx3·3x2＝3sin2xcosx＋3x2cosx3.(3)y′＝x′ln(1＋2x)＋x′＝ln(1＋2x)＋.复合函数导数的综合问题　设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切，求a，b的值．　由曲线y＝f(x)过(

7、0,0)点，可得ln1＋1＋b＝0，故b＝－1.由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b，得f′(x)＝＋＋a，则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，此即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得＋a＝，故a＝0.解决复合函数求导与导数几何意义综合问题的方法正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为y＝s(t)＝5－.求函数在t＝时的导数，并

8、解释它的实际意义．10解：函数y＝5－可以看作函数f(x)＝5－和x＝φ(t)＝25－9t2的复合函数，其中x是中间变量．由导数公式表可得f′(x)＝－x－，φ′(t)＝－18t.再由复合函数