高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的运算 1.2.1 常见函数的导数教学案 苏教版选修.doc

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1、1.2.1 常见函数的导数几个常见函数的导数已知函数(1)f(x)=c,(2)f(x)=x,(3)f(x)=x2,(4)f(x)=,(5)f(x)=.问题1:函数f(x)=x的导数是什么?提示:∵===1,∴当Δx→0时,→1,即x′=1.问题2:函数f(x)=的导数是什么?提示:∵====-,∴当Δx→0时,→-,即′=-.1.(kx+b)′=k(k,b为常数);2.C′=0(C为常数);3.(x)′=1;4.(x2)′=2x;5.(x3)′=3x2;6.′=-;7.()′=.基本初等函数的导数公式1.(xα)′=αxα-1(α为常数);2.(ax)′=axln_a(a>0,且

2、a≠1);3.(logax)′=logae=(a>0,且a≠1);4.(ex)′=ex;5.(lnx)′=;6.(sinx)′=cos_x;7.(cosx)′=-sin_x.函数f(x)=logax的导数公式为f′(x)=(logax)′=,当a=e时,上述公式就变形为(lnx)′=,即f(x)=lnx是函数f(x)=logax当a=e时的特殊情况.类似地,还有f(x)=ax与f(x)=ex.求函数的导数[例1] 求下列函数的导数.(1)y=x8;(2)y=;(3)y=x;(4)y=log2x.[思路点拨] 解答本题可先将解析式化为基本初等函数,再利用公式求导.[精解详析] (1

3、)y′=(x8)′=8x7;(2)y′=′=(x-3)′=-3·x-4=-;(3)y′=(x)′=(x)′=·x=;(4)y′=(log2x)′=.[一点通] 用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度.解题时应根据所给函数的特征,恰当地选择求导公式,有时需将题中函数的结构进行调整,如根式、分式转化为指数式,利用幂函数的求导公式求导.1.函数y=sin的导数是________.解析:y=sin=cosx,所以y′=-sinx.答案:-sinx2.下列结论中不正确的是________.①若y=3,则y′=0;②′=cos;③′=;④若y=x,则y′=1.解析:①正确;②sin=

4、,而()′=0,不正确;对于③,′=(-x-)′=x-=,正确;④正确.答案:②3.求下列函数的导函数.(1)y=10x;(2)y=logx;(3)y=;(4)y=2-1.解:(1)y′=(10x)′=10xln10;(2)y′=(logx)′==-;(3)∵y==x,∴y′=(x)′=x-=;(4)∵y=(sin+cos)2-1=sin2+2sincos+cos2-1=sinx,∴y′=(sinx)′=cosx.求函数在某一点处的导数[例2] 求函数f(x)=在x=1处的导数.[思路点拨] 先求导函数,再求导数值.[精解详析] ∵f(x)==x-,∴f′(x)=′=x-,∴f′

5、(1)=-.[一点通] 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简,然后求导,最后将变量的值代入导函数便可求解.4.若函数f(x)=,则f′(1)=________.解析:∵f′(x)=()′=(x)′=x-,∴f′(1)=.答案:5.若函数f(x)=sinx,则f′(6π)=________.解析:∵f′(x)=(sinx)′=cosx.∴f′(6π)=cos6π=1.答案:16.已知f(x)=且f′(1)=-,求n.解:f′(x)=′=(x-)′=-x--1=-x-,∴f′(1)=-,由f′(1)=-得-=-,得n=2.求切线方程[例3] 已知曲线方程y=x2,求:(1)曲线

6、在点A(1,1)处的切线方程;(2)过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程.[思路点拨] (1)点A在曲线上,故直接求导数,再求直线方程;(2)B点不在曲线上,故解答本题需先设出切点坐标,再利用导数的几何意义求出斜率,进而求出切点坐标,得到切线的方程.[精解详析] (1)y′=2x,当x=1时,y′=2,故过点A(1,1)的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.(2)∵B(3,5)不在曲线y=x2上,∴可设过B(3,5)与曲线y=x2相切的直线与曲线的切点为(x0,y0).∵y′=2x,∴当x=x0时,y′=2x0.故切线方程为y-x=2x0(x-x0).又∵直线过

7、B(3,5)点,∴5-x=2x0(3-x0).即x-6x0+5=0.解得x0=1或x0=5.故切线方程为2x-y-1=0或10x-y-25=0.[一点通] (1)求切线方程是导数的应用之一,有两种情况:①求曲线在点P处的切线方程,P为切点,在曲线上;②求过点P与曲线相切的直线方程,P不一定为切点,不一定在曲线上.(2)求曲线上某点(x0,y0)处的切线方程的步骤:①求出f′(x0),即切线斜率;②写出切线的点斜式方程;③化简切线方程.(3)求过点P与曲线相切的直线方程的步骤:①设

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