2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算1.2.1常见函数的导数应用案巩固提升苏教版选修2_.doc

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1、1.2.1常见函数的导数[A　基础达标]1．给出下列结论：①(sinx)′＝cosx；②若f(x)＝，则f′(3)＝－；③(ex)′＝ex；④(log4x)′＝.其中正确的有(　　)A．1个　　　　　B．2个C．3个D．4个解析：选D．因为(sinx)′＝cosx，所以①正确；f′(x)＝＝(x－2)′＝－2x－3，则f′(3)＝－，所以②正确；因为(ex)′＝ex，所以③正确；因为(log4x)′＝，所以④正确．2．若幂函数f(x)＝mxα的图象经过点A，则它在点A处的切线方程是(　　)A．2x－y＝0B．2x＋y＝0C．4x－4y＋1＝0D．4x＋4y＋1＝0解析：选C．因为

2、函数f(x)＝mxα为幂函数，所以m＝1.又幂函数f(x)＝xα的图象经过点A，所以α＝，所以f(x)＝x，f′(x)＝，f′＝1，所以f(x)的图象在点A处的切线方程为y－＝x－，即4x－4y＋1＝0.3．函数f(x)＝在x＝2和x＝3处的导数的大小关系是(　　)A．f′(2)f′(3)C．f′(2)＝f′(3)D．不能确定解析：选A．因为f′(x)＝′＝－，5所以f′(2)＝－＝－，f′(3)＝－＝－，因为－<－，所以f′(2)

3、·xn的值为(　　)A．B．C．D．1解析：选B．由题意得xn＝，则x1·x2·…·xn＝×××…××＝，故选B．5．已知点P在曲线y＝2sincos上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)A．B．C．D．∪解析：选D．因为y＝2sincos＝sinx，所以y′＝cosx，设P(x0，y0)．由题意，知切线的斜率存在，则曲线在点P处的切线的斜率k＝tanα＝cosx0，所以－1≤tanα≤1.因为0≤α＜π，所以α∈∪，故选D．6．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有________条．解析：因为y′＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x＝1，得x0＝±，

4、即在点和点处有斜率为1的切线．答案：27．已知f(x)＝，则f′(x)＝________．解析：f(x)＝x，所以f′(x)＝x－＝.5答案：8．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2017(x)＝________．解析：由已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…依次类推可得，f2017(x)＝f1(x)＝cosx.答案：cosx9．求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝4x；(3)y＝log9x；(4)y＝sin

5、2x＋cos2x；(5)y＝sin.解：(1)y′＝(x)′＝x－.(2)y′＝4xln4＝2ln2·4x.(3)y′＝＝.(4)因为y＝sin2x＋cos2x＝1，所以y′＝1′＝0.(5)因为y＝sin＝cosx，所以y′＝－sinx.10．已知P、Q两点为抛物线x2＝2y上两点，点P、Q的横坐标分别为4，－2，过P、Q两点分别作抛物线的切线，两切线相交于点A，求A点的坐标．解：因为点P、Q的横坐标分别为4，－2，且点P、Q都在抛物线上，所以可得P(4，8)，Q(－2，2)；因为y′＝x，所以kPA＝4，kQA＝－2，联立直线PA、QA的直线方程，得解得即点A的坐标为(1，－

6、4)．[B　能力提升]1．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　)A．y＝sinxB．y＝lnx5C．y＝exD．y＝x3解析：选A．设函数y＝f(x)的图象上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为k1＝f′(x1)，k2＝f′(x2)，若函数具有T性质，则k1·k2＝f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于A选项，f′(x)＝cosx，显然k1·k2＝cosx1·cosx2＝－1有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，f′(x)

7、＝(x＞0)，显然k1·k2＝·＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，f′(x)＝ex＞0，显然k1·k2＝ex1·ex2＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，f′(x)＝3x2≥0，显然k1·k＝3x·3x＝－1无解，故该函数不具有T性质．故选A．2．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________．解析：因为y＝x－，所以y′＝－x－，所以曲线在点(a，a－)处的切线斜率k＝－a－，所以切线方程为y－a－＝－a