2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算1.2.3简单复合函数的导数应用案巩固提升苏教版选修2_.doc

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1、1.2.3简单复合函数的导数[A　基础达标]1．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝(　　)A．1　　　　　　B．2C．3D．4解析：选A．设f(x)＝t2，t＝2x＋a，则f′(x)＝2t×2＝4t＝4(2x＋a)，f′(2)＝4(4＋a)＝20，所以a＝1.2．函数y＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(　　)A．3x2B．3x2－3a2C．2x2－2a2D．2x2解析：选B．y′＝(x＋2a)′(x－a)2＋(x＋2a)[(x－a)2]′＝(x－a)2＋2(x＋2a)(x－a)·(x－a)′＝3x2－3a2.3．曲线y＝

2、在点(1，1)处的切线方程为(　　)A．x＋y－1＝0B．x＋y＋1＝0C．x＋y－2＝0D．x＋y＋2＝0解析：选C．y′＝′＝＝－，当x＝1时，y′＝－1，所以k＝－1，由点斜式得切线方程为：y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.4．已知f(x)＝eπx·sinπx，则f′＝________．解析：f′(x)＝(eπx)′·sinπx＋eπx(sinπx)′＝π·eπxsinπx＋π·eπxcosπx＝π·eπx(sinπx＋cosπx)，所以f′＝πe＝πe.答案：πe45．函数y＝xsincos的导数为________．解析：因为y

3、＝xsincos＝sin(4x＋π)＝－sin4x，所以y′＝′sin4x＋·(sin4x)′＝－sin4x－2xcos4x.答案：－sin4x－2xcos4x6．已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线，则切线l的方程为________．解析：f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，f(0)＝1.所以f′(x)＝2ax－2＋＝，f′(0)＝－1，所以切点P的坐标为(0，1)，l的斜率为－1，所以切线l的方程为x＋y－1＝0.答案：x＋y－1＝07．求下列函数的导数：(1)

4、y＝xsin2x；(2)y＝xe1－2x；(3)y＝cosx·sin3x.解：(1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′＝sin2x＋x·2sinx·(sinx)′＝sin2x＋xsin2x.(2)y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x×(－2)＝(1－2x)e1－2x.(3)y′＝(cosx·sin3x)′＝(cosx)′sin3x＋cosx(sin3x)′＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x.8．已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－

5、8，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．解：对f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8两边求导，得f′(x)＝－2f′(2－x)－2x＋8，于是f′(1)＝－2f′(1)－2＋8，解得f′(1)＝2，4故切线斜率为2.又f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，令x＝1，得f(1)＝2f(1)－1＋8－8，解得f(1)＝1，即切点坐标是(1，1)，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.[B　能力提升]1．已知函数y＝eax＋b，则y′＝________．解析：y＝eax＋b可由y＝eu，u＝ax＋b复合而成，从而

6、yx′＝yu′·u′x＝eu·a＝aeax＋b.答案：aeax＋b2．已知函数f(x)＝＋ln(x＋1)，若a＝2，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为________．解析：f′(x)＝＋＝＋.当a＝2时，f′(0)＝＋＝，而f(0)＝－，因此曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－＝(x－0)，即7x－4y－2＝0.答案：7x－4y－2＝03．求曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最小距离．解：设点P(x0，y0)为已知曲线上任意一点，由题意得点P到直线2x－y＋3＝0的最小距离为曲线y＝l

7、n(2x－1)在点P处的切线与直线2x－y＋3＝0平行时的距离．由y′＝[ln(2x－1)]′＝·(2x－1)′＝，知点P处的切线斜率为.由＝2，得x0＝1，y0＝ln(2x0－1)＝0.所以点P(1，0)处的切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.2x－y＋3＝0与2x－y－2＝0的距离为＝.4．(选做题)日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，4所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(80

8、2)98%.解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．c′(x)＝′＝－5284×′＝－5284×[－]×(x－100)′＝，(1)因为c′(90)＝＝52.