高中数学第1章导数及其应用1.2.1常见函数的导数学案苏教版选修2

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1、1.2.1　常见函数的导数1．能利用导数定义，求几个常见函数的导数，领悟求导数算法的基本思想．(难点)2．牢记常见函数的导数公式，并能应用公式求基本初等函数的导数．(重点)3．掌握函数y＝ax(a>0，a≠1)与y＝logax(a>0，a≠1)的求导公式．(易混点)[基础·初探]教材整理　常见函数的导数阅读教材P18～P20“练习”以上部分，完成下列问题．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α为常数)f′(x)＝αxα－1f(x)＝axf′(x)＝axln_a(a>0，且a≠1

2、)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝(a>0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_x1．判断正误：(1)指数函数的导数还是同底数的指数函数．(　　)(2)′＝cos＝.(　　)(3)若f(x)＝x5，则f′(x)＝5x4.(　　)(4)若f(x)＝4x，则f′(x)＝x·4x－1.(　　)【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．若f(x)＝，则f′(－1)＝________.【解析】　由y＝＝x，知f′(x)

3、＝x－，∴f′(－1)＝×(－1)－＝.【答案】　3．已知f(x)＝lnx，则f′(e)的值为________.【导学号：01580006】【解析】　f′(x)＝，∴f′(e)＝.【答案】　[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：________________________________

4、_______________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型]利用导数公式求函数的导数　求下列函数的导数：(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.【精彩点拨】　首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将

5、函数解析式化为基本初等函数的求导形式．【自主解答】　(1)y′＝(x12)′＝12x11.(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.(3)y′＝()′＝(x)′＝x－.(4)y′＝(3x)′＝3xln3.(5)y′＝(log5x)′＝.1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“与lnx”，“ax与logax”，“sinx与cosx”的导数区别．[再练一题]1．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x,则f′(x)－

6、g′(x)＝__________.【解析】　∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝，∴f′(x)－g′(x)＝3x2－.【答案】　3x2－利用公式求函数在某点处的导数　质点的运动方程是s＝sint，(1)求质点在t＝时的速度；(2)求质点运动的加速度．【精彩点拨】　(1)先求s′(t)，再求s′.(2)加速度是速度v(t)对t的导数，故先求v(t)，再求导．【自主解答】　(1)v(t)＝s′(t)＝cost，∴v＝cos＝.即质点在t＝时的速度为.(2)∵v(t)＝cost，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′＝－sint.

7、1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．[再练一题]2．(1)求函数f(x)＝在(1,1)处的导数；(2)求函数f(x)＝cosx在处的导数．【解】　(1)∵f′(x)＝′＝(x－)′＝－x－＝－，∴f′(1)＝－＝－.(2)∵f′(x)＝－sinx，∴f′＝－sin＝－.[探究共研型]导数公式的应用探究1　f(x)＝x，f(x)＝x2，f(x)＝均可表示为y＝xα(α为常数)的形式，其导

8、数有何规律？【提示】　∵(x)′＝1·x1－1，(x2)′＝2·x2－1，()′＝′＝x－1，∴(xα)′＝α·xα－1.探究2　点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．【提示】　如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x