直线系方程巧解课本习题

《直线系方程巧解课本习题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、直线系方程巧解课本习题胡贵平（甘肃省白银市第九中学，甘肃白银730913）直线系方程,是指满足某种特征的直线方程的全体.直线系方程问题是解析几何中的一类重要问题，灵活运用直线系方程解题，事半功倍.本文着重用直线系方程解一些人教A版必修2课本习题，简洁新颖.一、平行直线系方程与直线（不同时为0）平行的直线系方程为：.例1(必修2第101页第10题)求经过点，且与直线平行的直线的方程.解：设与直线平行的直线系方程为，因为经过点，所以，故所求直线方程为.例2(必修2第114页第11题)求平行于直线且与它的距离为的直线方程.解：设与直线

2、平行的直线系方程为，所以，解得或，故所求直线方程为或.点评：对于已知两直线平行和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算.也可以由两直线平行，斜率相等，求出所求直线斜率，把所求直线方程设成点斜式求解.二、垂直直线系方程与直线（不同时为0）垂直的直线系方程为：.例3(必修2第101页第10题)求经过点，且与直线垂直的直线的方程.解：设与直线垂直的直线系方程为，因为经过点，所以，故所求直线方程为.例4(必修2第115页第10题)已知正方形的中心为点，一条边所在的直线的方程是.求正方形其他三边所在直线的方程.解

3、：设边的方程为.因为∥,∥,且，所以可设边的方程为，边、的方程为.又中心3到,,的距离都是，且，所以，.化简得，或（舍去）；，或.于是其他三边所在直线的方程；；.点评：对于已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算.也可以由两直线垂直，斜率互为负倒数，求出所求直线斜率，把所求直线方程设成点斜式求解.三、过定点直线系方程过定点的直线系方程：（不同时为0）．例5(必修2第100页第9题)求过点,并且在两轴上的截距相等的直线方程．解：设所求直线方程为（不同时为0）．显然，当或时，所得直线方程不满

4、足题意．故均不为0．当时，；当时，．根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则，令，则，整理，得，解得，或，　则，或，故所求直线方程为，或．点评：对于求过定点（，）的直线方程问题，常用过定点直线系法，此方程表示的是过点的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，避免了分类讨论，解法具有通用性，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．四、过两直线交点的直线系方程经过两直线（不同时为0）与（不同时为0）的交点的直线系方程为：（，为参数）.例6(必修2第109页第5题)求经过两条直线和3的交点，且垂直于直线

5、的直线方程.解：设所求直线所在的直线系方程为，即.因为与直线垂直，所以，得.所求直线方程为.例7(必修2第109页第5题)经过两条直线和的交点，且平行于直线的直线方程.解：设所求直线所在的直线系方程为，即.因为与直线平行，所以，得.所求直线方程为.点评：对于求过两直线交点的直线方程问题，常用过两直线交点的直线系法求解，以简化计算.也可以由两直线方程联立求出交点，把所求直线方程设成点斜式求解.此法以习题出现.(必修2第109页第4)已知直线与相交，证明方程表示过l1与l2交点的直线.变式：直线系方程过定点例8(必修2第144页第6

6、题)已知直线，求证：直线恒过定点.解法一：（特殊直线法）取，得，，联立解得，，，将代入检验，满足方程.所以直线恒过定点.解法二：（恒等式法）直线方程化为:，因为,所以解得，，所以直线恒过定点.点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有特殊直线法和恒等式法，特殊直线法，取两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点;恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于，则恒等式各系数为0，列出关于的方程组，通过解方程组，求出定点坐标.3