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《运用参数方程知识巧解直线与圆锥曲线相切问题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、运用参数方程知识巧解直线与圆锥曲线相切问题运川参数方程知识巧解玄线4圆锥曲线相切问题江西省高安屮学数学教研组章勇生本文“运用参数方程知识巧解百线与圆锥曲线相切问题”是我在运用几何I出i板作椭圆和双曲线时的一点感悟，运用这种方法解题，使运算量人人减少，学生易接受，并且解题成功率犬大提高。关键词：一--对应、参数方程、三角变换一、再现如何运用参数方程作椭圆和双曲线1、用几何画板作椭圆:%1、以原点为圆心，分别以乩b长为半径作圆。%1、在以Q为半径的圆上任取一点M,连结0M,交以b为半径的圆于点No%1、过点M作X轴的垂线,再过点N作前垂线的垂线交于点Ho%1、
2、同时点M和II点，再从菜单选项屮选择轨迹便可得所需要的椭圆。理论根据：设ZA0M=e,则
3、OC
4、=
5、OM
6、cos0=acose,
7、CH
8、=
9、ND
10、=
11、0N
12、sin0=bsin0,根据椭圆的参数方程知，点H的轨迹是一•个椭圆。2、川几何训板作双曲线：①.以坐标原点0为圆心，分别以a=0A>b=OB(a,b>0)为半径illlj两个圆；②.圆0B与x轴的正方向交于点C,过C作x轴的垂线，③.在圆0A上取一点P,连接0P,直线0P与过点C且和X轴垂玄的肓线交于点N,过点N作X轴的平行线NM；%1.过点P作PR垂直于0P,交x轴于点R；%1.过点R在x轴的垂线交直
13、线NM于点%1.分别选中点M和点P,用〃作图"菜单中的〃轨迹〃功能,迪岀双曲线。理论根据：设ZxOP=0,贝J
14、OR
15、=10P
16、sec9=asec0,
17、RM
18、=
19、NC
20、=OCtan0=btan0,根据双曲线的参数方程知，点M的轨迹是一•个双曲线。二、从作图屮得到的启示从作图屮我们发现，椭圆屮的0(0°<0<360°)与点M的位置，应该是一一对应的关系，即一个0的值对应一个M的位置，当0的值有两个，则说明对应着两个M点。同样，在双曲线中的9(0°e<360°)与点P的位置，也应该是一一对应的关系，一个9的值也对应一个P的位置，而9的值不同，对应的P值也不同。
21、x2y2于是，我们可以人胆•地推测，如果是讨论椭圆221与直线mx+ny+k二0相切的问此题，可考虑将椭圆上的点表示成M(“cos9,bsin0),该点在直线mx+ny+k=0上，所以m•ama22cos9+n•bsin0+k=0,再将此方程变形为【曲nbsin()k,其中巾=arctannbma或皿—arctano由于直线与椭圆相切，因此椭圆上满足直线nix+ny+k=0的点M只有一个，nb当且仅当
22、sin(0+(b)
23、=l时，0有唯一•解。因此有ma2nb2k,E
24、Jma2nb2k20x2y2同样对于双曲线221与肓线mx+ny+k二0相切的问题，可考
25、虑将双曲线上的点表ab示成P(asec0,btan0),该点在玄线mx+ny+k=O_L,所以m•asec0+n•btan9+k=0,同时乘以cos0得nbsin0+kcos9+ma=0,再将此方程变形为H：r
26、i=arctannb2k2sin()ma,kk或n—arctano由于直线与双曲线相切，因此双曲线上满足直线的点Pnbnb只有一个，当且仅当
27、sin(0+(l))
28、=l时，8有唯一解。因此有22k2nbma。nb2k2,即以上结论虽然玄接由圆锥曲线方程与肓线方程联立方程组同样可以得到，但运算量非常人，下面我们通过例子来对照一下。三、举例：例1：已知
29、椭圆屮心在原点，焦点在X轴上，焦距为43,且和直线3x27y160相切，求椭圆方程。x2y2若用常规方法：设椭圆方程为221,它与玄线3x27y160相切，所以有：abb2x2+a2(163x2)2=a2b2,化简得：(28b2+9a2)x2-96a2x+256a2-28a2b2=0当厶=(96a2)2-4(28b2+9a2)(256a2-28a2b2)=0时有9a228b2256……①又•・•焦距为43,Aa2-b2=12……②x2y21由①②联立得：a=16,b=4A所以椭圆方程为：16422x2y2xacos,用参数法：设椭圆方程为221,其参数方程
30、为abybsin・：椭圆上任-一点P(acos,bsinB)，当这点在直线上时，有3acos27bsin160,A9a228b2sin()16,V0°9<360°,(b为一个定角，当且仅当sin(9+(b)=1吋，直线与椭圆相切，A9a228b216,即9q228b2256……①又・.•焦距为43,Aa2-b2=12……②x2y21由①②联立得：a=16,b=4A所以椭圆方程为:16422对比发现，用第二种方法运算量减少了许多。x2y21只有一个公共点的直线方程。例2：求过点P(4,4)与双曲线1691°当玄线与双曲线的渐近线平行时符合条件，故可设方程为尸
31、代入得两条直线方程分别为：y=3xb,再将P(4,4)433x1和
