直线与圆相切、弦长问题(学生).doc

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1、直线与圆的位置关系（复习）复习要求　1.会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系；2.掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会用代数法处理几何问题的思想．直线与圆的位置关系：设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.几何法代数法相交d0相切d＝rΔ＝0相离d>rΔ<0[难点正本　疑点清源]1．直线与圆的位置关系体现了圆的几

2、何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．1.．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为__________．2．从圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．3．(2015·重庆)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为____________

3、题型一　直线与圆的位置关系例1　已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．(2015·安徽改编)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是__________．题型二　圆的切线问题例2　已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，

4、B两点，且弦AB的长为2，求a的值．探究提高　求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解．注意，需考虑无斜率的情况．求弦长问题，要充分运用圆的几何性质．已知点A(1，a)，圆x2＋y2＝4.（a>0）若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；方法与技巧1．过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为－，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0.2．

5、过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法(1)几何方法：当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．(2)代数方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．3．圆的弦长的求法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2＝r2－d2.(2)代数法：设直线与圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点,两点间距离公式。失误与防

6、范1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．　基础训练1．若过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围为______________．2．若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则a＝___________．3．设m，n∈R，若直线(

7、m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是____________．4．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．5．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a＝________.6．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若MN≥2，则k的取值范围是______________．