动态直线与圆的相切问题(4)

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1、动态直线与圆的相切问题张家港市第一中学曹一红动态直线与园的相切问题是近年中考试卷中的一个亮点.这类试题既考查学生的动手操作能力和空间想象能力,还考察学生的分类思想,数形结合思想,计算能力等.解决此类问题的主要思路是在动中取静,在静中探静.也就是用运动和变化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系,灵活运用切线的判定方法,结合所学知识解决问题.灵活运用切线的判定方法,就是根据题目中是否给出直线与圆有公共点的情况,选择不同形式的判定途径.当题设给出直线与圆有公共点时,可根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的直线”来

2、判定。具体操作上，先连接公共点和圆心，再证明直线垂直于这条半径。当题设没有给出直线与圆有公共点时，可根据圆心到直线的距离等于半径这一数量关系来判定。具体操作上，先经过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段长等于圆半径，这条直线就是圆的切线。一、定圆和动直线相切问题例1，（2008年南京市中考题）如图1，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm,射线PN与⊙O相切于点Q,A,B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动.设运动时间为ts（1）求PQ的长（2）当t为何值时,直线AB和⊙O相切解题思路

3、:(1)连接OQ,因为PN与⊙O相切于点Q,根据圆的切线垂直于经过切点的半径,所以PN⊥OQ,即∠OQP=90°,在RTΔOQP中,由勾股定理得PQ=OP-OQ=10-6=64,所以PQ=8cm(2)由题设知A,B两点同时从点P出发,分别沿射线PM,PN方向匀速运动,直线AB与⊙O的位置关系随着运动时间的变化依次出现以下5种情况:相离,相切,相交,相切,相离.所以与⊙O相切的直线AB有两条,如图1图2,本题有两解.题中没有给出直线AB与⊙O有公共点,故作OC⊥AB于点C,只要OC长等于⊙O的半径6cm,即知直线AB与⊙O相切.∵点A的运动速度为5cm/s,点B的运动速

4、度为4cm/s,运动时间为ts.∴PA=5tcm,PB=4tcm.∵==,==,∴=,=,又∠APB=∠OPQ,∴ΔPAB∽ΔPOQ,∴∠ABP=∠OQP=90°,∵∠OCB=∠OQB=∠CBQ=90,°∴四边形OCBQ为矩形,∴BQ=OC.∵⊙O的半径为6cm,∴BQ=OC=6cm时.直线AB与⊙O相切.①当AB运动到如图1所示位置,BQ=PB-PQ=8-4t,由BQ=6得8-4t=6,解得t=0.5s.②当AB运动到如图2所示位置,BQ=PB-PQ=4t-8,由BQ=6得4t-8=6,解得t=3.5s所以当t为0.5s或3.5s时,直线AB与⊙O相切二.动圆和动直

5、线相切问题例2,(2008年江苏省无锡市中考题)如图3,已知点A从(1,0)出发,以1个单位长度/秒的速度沿x轴正方向运动,以O,A为顶点作菱形OABC,使点B,C在第一象限内,且∠AOC=60°;以P(0,3)为圆心,PC为半径作圆,设点A运动了t秒.求(1)点C的坐标(用含的代数式表示)(2)在点A运动的过程中,所有使⊙P与菱形OABC的边所在直线相切时的t值.解题思路:(1)过点C作CD⊥x轴于点D.∵菱形OABC的边OA=1+t,∴OC=1+t.在RTΔOCD中,∠DOC=60°,OD=OCCOS60°=,CD=OCCOS60°=∴点C的坐标为(,)(2)①点

6、C是⊙P与直线OC的公共点,观察图3知,PC不可能垂直BC,所以⊙P和直线BC不能相切.当PC⊥OC时,⊙P与直线OC相切,在RTΔOCP中,OC=OPCOS∠COP=3COS30°=,∵OC=OA=1+t,∴1+t=,解得t=-1.②如图4,点P的坐标为(0,3),∴PO⊥x轴,即PO⊥直线OA.,当⊙P的半径PC=PO=3时,⊙P与OA相切,作PD⊥OC于点D,则OC=2OD=OA,在RTΔODP中,OD=OPCOS30°=,∴OA=2OD=3,1+t=3.解得t=3-1③如图5,作CD⊥OA于点D,作PE⊥直线AB,垂足为E,交OC于点F,当PE=PC时,AB是

7、⊙P的切线.∵S=AB·EF=OA·CD=AB·CD,∴EF=CD,∵菱形OABC,∴OC∥AB,∵PE⊥AB,∴PE⊥OC,在RTΔOFP中,PF=OPsin∠POF=3sin30°=∴PC=PE=PF+EF=+过点C作CG⊥y轴于点G,∵∠CGO=∠GOD=∠CDO=90°.∴四边形ODCG是矩形,∴OG=CD=PG=OG-OP=-3,,CG=OD=,在RTΔPCG中,由勾股定理得CG+PG=PC∴()+[-3]=[+],化简得(1+t)-18(1+t)+27=0解得1+t=9±6.∵t=9-6-1＜0,故舍去.∴t=9+6-1∴所求t的值是-1